Geometria - Autistici

Distanza (matematica) 135
Distanza indotta da una norma
Data una norma è possibile definire una distanza definendo
.
Si verifica che la funzione così definita è una distanza, infatti:
•
•
•
•
Si osserva che ogni distanza indotta da una norma è invariante per traslazioni (ovvero, per ogni tripletta di vettori
Distanze su spazi euclidei
).
La distanza normalmente considerata in è quella euclidea, pari alla radice quadrata del quadrato della differenza
orizzontale (tra i due punti) più il quadrato della differenza verticale:
Se si elimina la seconda dimensione questa funzione si riduce al modulo della differenza tra i due numeri:
.
Più in generale nello spazio euclideo si può definire la distanza tra due punti e
nei seguenti modi:
(distanza euclidea)
, per ogni p reale maggiore o uguale ad 1
La 2-distanza in uno spazio a n dimensioni corrisponde al → teorema di Pitagora applicato n-1 volte: è la distanza di
uno spazio euclideo, normalmente usata nel piano o nello spazio e viene detta anche distanza pitagorica. La
1-distanza, detta anche distanza L1 o distanza Manhattan, genera invece una geometria diversa, detta geometria del
taxi.
Dischi associati a una distanza
Data una distanza su un insieme si può definire come palla, o bolla, o disco, centrata in un punto di un certo raggio
positivo l'insieme dei punti dell'insieme che distano da meno di :
Solitamente la definizione si intende con il