Geometria - Autistici

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Geometria non euclidea 194 Altri progetti • Wikibooks contiene testi o manuali sulle geometrie non euclidee Collegamenti esterni • Le geometrie non euclidee [13] • Geometrie non euclidee [14] • Geometrie non euclidee e modelli cosmologici di Friedmann [15] Riferimenti [1] Sembra, infatti, che Euclide abbia sempre cercato di poter dimostrare il V postulato come derivato dagli altri. La sua stessa formulazione somiglia molto a quella tipica di un teorema: se.... allora..., si veda: V postulato di Euclide. [2] C'è differenza tra il corpo teorico di una geometria, basato su una serie di assiomi dai quali si dimostrano varie proposizioni e teoremi, ed il suo modello. Ad esempio, possono esistere più modelli per una stessa geometria, ma non il contrario. Si veda, ad esempio, il caso della geometria iperbolica. [3] Giovanni Reale, Storia della filosofia greca e romana, Vol. IV, Aristotele e il primo peripato, pagg.151-157, Edizioni Bompiani 2004. Vedi anche: Imre Toth, Aristotele e i fondamenti assiomatici della geometria, Edizioni Vita e Pensiero 1998. [4] J. J. O'Connor, E. F. Robertson. Omar Khayyam (http:/ / www-groups. dcs. st-and. ac. uk/ ~history/ Printonly/ Khayyam. html). MacTutor History of Mathematics, luglio 1999. URL consultato il 4.4.2008. [5] Proposizione 23 - Costruire un angolo uguale ad un angolo dato. [6] Proposizione 27 - Se due rette qualsiasi tagliate da una trasversale formano con quest’ultima angoli alterni interni uguali, le due rette sono parallele. [7] Proposizione 16 - In ogni triangolo, un angolo esterno è maggiore di ciascuno degli angoli interni non adiacenti ad esso. [8] http:/ / books. google. it/ books?id=UxC8YYSN84AC& dq=Corpus+ Aristotelicum& printsec=frontcover& source=bl& ots=-crZHfzV5X& sig=ut7JdNZXicBTq9lWVXTQTr-VbNk& hl=it& ei=6RnSSfzzMcSKsAbLoPiXBA& sa=X& oi=book_result& resnum=2& ct=result#PPP1,M2 [9] http:/ / resolver. library. cornell. edu/ math/ 1971483 [10] http:/ / www. archive. org/ details/ noneuclideangeom00bonorich [11] http:/ / name. umdl. umich. edu/ ABK7963. 0001. 001 [12] http:/ / gallica. bnf. fr/ notice?N=FRBNF35067284 [13] http:/ / progettomatematica. dm. unibo. it/ NonEuclidea/ index. htm [14] http:/ / ulisse. sissa. it/ biblioteca/ saggio/ 2006/ Ubib061229s002/ at_download/ file/ Ubib061229s002. pdf [15] http:/ / www. codas. it/ home2/ index. php?option=com_docman& task=doc_download& gid=60& Itemid=67
Geometria ellittica 195 Geometria ellittica La geometria ellittica o riemanniana è una → geometria non euclidea ideata dal matematico Bernhard Riemann. Nasce dalla negazione del V postulato di Euclide, o equivalentemente dal IV.1 assioma di Hilbert. Tuttavia, affinché sia una teoria assiomatica coerente, è necessario modificare anche l'assioma di ordinamento [1] . Tale geometria è localmente equivalente alla → geometria sferica. Corpo assiomatico Con riferimento alla classificazione assiomatica proposta da Hilbert per la geometria euclidea, riportiamo di seguito quella relativa alla geometria ellittica. I - Assiomi di appartenenza 1. Per ogni coppia di punti distinti passa sempre almeno una retta. 2. Per ogni coppia di punti distinti passa una retta sola. 3. Ci sono almeno tre punti che non giacciono su una retta. 4. Tre punti non allineati sono contenuti in almeno un piano 5. Tre punti non allineati sono contenuti in un piano solo 6. Se due punti contenuti in una retta r stanno in un piano p, allora p contiene ogni punto di r. 7. Se due piani contengono lo stesso punto, allora esiste almeno un altro punto contenuto in entrambi. 8. Ogni retta contiene almeno due punti, ogni piano contiene almeno tre punti non allineati, ed esistono almeno quattro punti non complanari. II - Assiomi di ordinamento 1. Se S (AB | CD), allora A, B, C, D sono quattro punti distinti appartenenti alla stesa retta. 2. Se S (AB | CD), allora: S (BA | CD); S (AB | DC); S (BA | DC); S (CD | AB); S (CD | BA); S (DC | AB); S (DC | BA). 3. Se A, B, C sono tre punti di una retta, allora esiste almeno un punto D tale che S (AB | CD). 4. Se A, B, C, D sono quattro punti distinti appartenenti alla stessa retta, allora esiste una coppia di punti che separa la coppia costituita dagli altri due; vale cioè almeno una delle seguenti relazioni: S (AB | CD), S (AC | BD), S (AD | BC). 5. Se S (AB | CD) e S (AC | BE), allora S (AB | DE). 6. Una retta che, passante per un vertice, entra in un triangolo, incontra il lato opposto. III - Assiomi di congruenza 1. Se A, B sono due punti di una retta ed inoltre A’ è un punto sulla stessa retta ovvero su un’altra a’, si può sempre trovare un punto B’, da una data parte della retta a’ rispetto ad A’, tale che il segmento AB sia congruente, ovvero uguale, al segmento A’B’ ; in simboli: AB ≡ A’B’ . 2. Se un segmento A’B’ ed un segmento A”B” sono congruenti ad uno stesso segmento AB, A’B’ ≡ AB e A”B” ≡ AB , allora anche il segmento A’B’ è congruente al segmento A”B”. 3. Siano AB e BC due segmenti senza punti in comune (questo vuol dire che i punti A e C sono opposti rispetto a B) su una retta a ed A’B’ e B’C’ due segmenti sulla stessa retta o su un’altra a’, sempre senza punti in comune. Allora se è AB ≡ A’B’ e BC ≡ B’C’ , è pure AC ≡ A’C’. 4. Siano dati un angolo ﺣ(h,k) in un piano α ed una retta a’ in un piano α’, come pure un determinato lato di a’ in α’. Si indichi con h’ una semiretta della retta a’ che abbia origine in O’. C’è allora nel piano una ed una sola semiretta k’ tale che l’angolo ﺣ(h,k) è congruente, ovvero uguale, all’angolo ﺣ(h’,k’) ed allo stesso tempo tutti i punti interni
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