Geometria - Autistici

Geometria proiettiva 167
(con assiomi simili a quelli di Euclide). Per questo motivo una riformulazione rigorosa dei lavori di questi
matematici in chiave odierna è spesso difficile: anche nel caso più semplice del piano proiettivo, il loro approccio
assiomatico comprende anche modelli diversi da quello definito oggi (e non studiabili tramite l'→ algebra lineare).
Proprietà
La "retta all'infinito"
Qualunque fosse la discussione sui suoi fondamenti nel XIX secolo, la geometria proiettiva includeva come una sua
proprietà basilare quella dell'incidenza tra due rette qualunque nel piano: due rette distinte L e M nel piano proiettivo
si intersecano sempre in esattamente un punto P. Contrariamente alla → geometria euclidea o → analitica, in quella
proiettiva non esistono rette parallele. Il caso "eccezionale" delle rette parallele viene eliminato aggiungendo al
piano i "punti all'infinito". Questi nuovi punti formano anch'essi una retta, detta "retta all'infinito" o "impropria", o
anche "orizzonte". La teoria considera quindi la "retta all'infinito" come una retta qualsiasi, indistinta dalle altre.
Lo stesso accade in dimensione più alta: lo spazio proiettivo tridimensionale è ottenuto aggiungendo il "piano
all'infinito", in modo che due piani nello spazio non siano mai paralleli, ma si intersechino sempre in una retta.
Semplificazione dei teoremi classici
Grazie all'aggiunta dei punti all'infinito, e all'eliminazione dei fenomeni di parallelismo, molti teoremi classici
assumono nella geometria proiettiva una forma più semplice, più essenziale.
Ad esempio, la geometria proiettiva fornisce una descrizione breve ed elegante delle → sezioni coniche: iperbole,
parabola e ellisse altro non sono che la "stessa conica" nel piano proiettivo, e le differenze fra questi tre enti
dipendono soltanto da come questo oggetto interseca la retta all'infinito: l'iperbole la interseca in due punti, la
parabola in uno solo, l'ellisse in nessuno.
Il → teorema di Pappo ed il → teorema di Desargues sono due risultati riguardanti alcune configurazioni di rette nel
piano. Ciascun teorema ha una versione proiettiva ed una euclidea. La versione proiettiva è espressa sinteticamente
con un unico enunciato, mentre la euclidea necessita una trattazione differenziata per alcuni casi, a seconda della
configurazione delle rette: ad esempio se una di queste è "all'infinito" si ottiene un risultato, se due sono parallele se
ne ottiene un altro, etc.
Applicazioni
Scienze naturali
Tra i non matematici che hanno studiato e usato la geometria proiettiva per modellizzare fenomeni del mondo
vivente, è da menzionare il filosofo Rudolf Steiner (il quale non va confuso con il matematico svizzero Jakob
Steiner, in precedenza menzionato). Tra gli studiosi che contribuirono a questo filone, ci sono Louis Locher-Ernst,
Hermann von Baravalle (che studiò il potenziale pedagogico della geometria proiettiva nella scuola superiore e nei
corsi per futuri docenti) e Lawrence Edwards.