Geometria - Autistici

Retta proiettiva 176
Punto all'infinito
Usando queste coordinate, è possibile ricavare la descrizione più familiare di retta proiettiva come unione di una
retta normale e di un "punto all'infinito". Infatti
poiché a meno di riscalamento ogni coppia può essere espressa unicamente in uno dei modi descritti. In
questa descrizione, il "punto all'infinito" è . Ogni punto della retta proiettiva può però essere identificato come
"punto all'infinito" in una opportuna descrizione.
Esempi
Caso reale
Se è il campo dei numeri reali, la retta proiettiva è ottenuta aggiungendo un punto all'infinito alla retta
reale. Dal punto di vista topologico, lo spazio che si ottiene è una circonferenza.
Caso complesso
La retta proiettiva complessa è la sfera di Riemann, ottenuta aggiungendo il punto
all'infinito al piano complesso.
Il caso complesso risulta essere di notevole interesse in matematica e in geometria. La retta proiettiva complessa
è ottenuta aggiungendo un punto al piano complesso. Topologicamente, come si evince dalla proiezione
stereografica, è una sfera, detta sfera di Riemann. La sfera di Riemann è un oggetto importante, che ha molti
collegamenti con vari ambiti della geometria: è centrale infatti sia nella → geometria proiettiva che nella →
differenziale.
Campi finiti
La definizione è ovviamente valida anche nel caso in cui il campo sia un campo finito, con elementi. In
questo caso, la retta proiettiva consta di elementi.
Voci correlate
• → Spazio proiettivo
• → Piano proiettivo
• → Trasformazione di Möbius