Geometria - Autistici

Varietà algebrica 165
Collegamenti esterni
• (EN) Rowland, Todd and Weisstein, Eric W. "Algebraic Variety." Da MathWorld--A Wolfram Web Resource [1]
• (EN) Introduzione alle varietà algebriche [2]
Riferimenti
[1] http:/ / mathworld. wolfram. com/ AlgebraicVariety. html
[2] http:/ / www. mathreference. com/ ag-var,intro. html
Varietà affine
In → geometria algebrica, una varietà affine è il sottoinsieme di uno → spazio affine -dimensionale su un campo
algebricamente chiuso caratterizzato dall'annullarsi simultaneo di tutti i polinomi di un sottoinsieme di
. Un aperto (secondo la topologia di Zariski) di una varietà affine è detto varietà quasi affine.
Morfismi tra varietà affini
Una funzione regolare per una varietà affine è una funzione tale che per ogni punto esiste
un intorno del punto in cui , dove . L'insieme di tutte le funzioni
regolari su è l'anello .
Un morfismo tra due varietà è una funzione che induce un morfismo di anelli
Algebra affine
.
Dato un insieme qualsiasi di polinomi, la varietà affine che definiscono è la stessa definita dall'ideale
generato da questi polinomi. Si può quindi definire l'algebra affine di una varietà affine come la -algebra
finitamente generata .
Si dimostra che due varietà affini sono isomorfe se e solo se le loro algebre affini sono isomorfe. Inoltre se si associa
ad ogni varietà affine la propria algebra e ad ogni morfismo il morfismo , si ottiene un funtore contravariante
tra la categoria delle varietà affini e quella delle -algebre finitamente generate.
Esempi
• Per la noetherianità dell'anello dei polinomi, ci si può ridurre a considerare un numero finito di polinomi.
• Per definizione, una varietà affine è chiusa secondo la topologia di Zariski, ma in quanto intersezione finita di
luoghi di zeri, è chiusa anche per la topologia standard se o .
• Le varietà affini formano una categoria sia con i morfismi di varietà, sia con le mappe razionali.
Voci correlate
• Varietà proiettiva