Geometria - Autistici

Sottospazio affine 154
Piano affine
Analogamente, un piano affine passante per è del tipo:
dove e sono due vettori linearmente indipendenti.
Soluzioni di sistemi lineari
Negli esempi precedenti, i sottospazi sono definiti tramite l'ausilio di parametri e : le equazioni che li
descrivono sono per questo dette parametriche. Un sottospazio affine in uno spazio euclideo (o in un più
generale spazio vettoriale ) è anche descrivibile in forma più implicita, come spazio di soluzioni di un sistema
lineare. Vale cioè il fatto seguente:
Lo spazio delle soluzioni di un sistema lineare con incognite a coefficienti in è un sottospazio affine di .
D'altro canto, ogni sottospazio affine in è lo spazio di soluzioni di un sistema lineare.
Un sottospazio affine determinato come spazio di soluzioni di un sistema lineare è descritto in forma cartesiana. I
coefficienti del sistema lineare formano una matrice, e la dimensione del sottospazio è collegata al rango di questa
tramite il teorema di Rouché-Capelli.
Ad esempio, una singola equazione
descrive un iperpiano in . In particolare, questo è una retta nel piano se ed un piano nello spazio se
. Una retta nello spazio può essere descritta da due equazioni
Equazioni parametriche e cartesiane
Come mostrato negli esempi precedenti, i sottospazi di uno spazio affine possono essere descritti in forma
parametrica o cartesiana. Il passaggio da una rappresentazione all'altra può essere svolto nel modo seguente.
Da cartesiana a parametrica
Il passaggio da cartesiana a parametrica consiste nella risoluzione del sistema lineare. Questa può essere fatta tramite
l'algoritmo di Gauss.
Da parametrica a cartesiana
Il passaggio da parametrica a cartesiana consiste nel determinare equazioni che descrivono il sottospazio. Questo può
essere fatto scrivendo delle condizioni che un punto deve soddisfare per appartenere al sottospazio. Ad esempio, se
è descritto come
dove i vettori formano una base della giacitura , un punto appartiene a se
e solo se il vettore
appartiene alla giacitura. Questo accade precisamente quando la matrice