Geometria - Autistici

Spazio proiettivo 171
Coordinate omogenee e carte affini
Coordinate omogenee
Ogni punto dello spazio proiettivo è una classe di equivalenza di punti in . Come è usuale in matematica, una
classe di equivalenza viene descritta tra parentesi quadre: in questo modo,
definisce la classe a cui appartiene il vettore . Per brevità, tale classe si indica con
Questa espressione fra parentesi quadre definisce le coordinate omogenee del punto. Due vettori di coordinate
determinano la stessa classe (cioè lo stesso punto)
se e solo se sono uno multipli dell'altro, cioè se esiste un in tale che per ogni .
Punti impropri
Con le coordinate omogenee è possibile recuperare la definizione originaria di spazio proiettivo come spazio affine a
cui si aggiungono dei punti. Basta definire come il sottoinsieme formato dai punti tali che
. Ogni punto in si scrive come
in modo univoco, e quindi tramite la funzione
definiamo una corrispondenza biunivoca tra e lo spazio affine . I punti dello spazio proiettivo che non sono
in hanno in questo contesto il ruolo dei "punti all'infinito". Ciascuno di questi punti è del tipo
e la funzione
definisce una corrispondenza biunivoca tra i punti all'infinito e lo spazio proiettivo di dimensione più
piccola di uno. Quindi i "punti all'infinito" ad esempio del → piano proiettivo formano una retta proiettiva, detta
retta all'infinito o retta impropria. In dimensione arbitraria, si parla di iperpiano improprio.
Carte e atlante
La stessa descrizione è fattibile per ogni definendo come l'insieme dei punti la cui -esima
coordinata è non nulla. Per ogni si ottiene quindi un differente iperpiano improprio, e una differente carta affine
.
Il nome "carta" deriva dalla proprietà seguente: l'unione degli è tutto lo spazio, quindi le carte "ricoprono" tutto
lo spazio proiettivo, mentre ciascuna di esse ne descrive solo una parte, proprio come le carte geografiche. L'insieme
è detto atlante affine.