Geometria - Autistici

Varietà algebrica 164
Varietà proiettive
È possibile modificare leggermente la definizione di varietà affine per estenderla al caso di uno → spazio proiettivo
sul campo : in questo caso si considera un insieme , formato da polinomi
omogenei (ovvero i cui monomi hanno tutti lo stesso grado). Con le medesime notazioni si ottengono allora le
definizioni di insieme algebrico proiettivo, varietà proiettiva, topologia di Zariski e anello delle coordinate di una
varietà.
Isomorfismi di varietà algebriche
Un isomorfimo tra due varietà algebriche e è un morfismo di varietà algebriche che è anche biiettivo:
.
e sono dette isomorfe e si scrive .
L'isomorfismo tra varietà algebriche è una relazione di equivalenza: tutte le varietà algebriche isomorfe tra di loro si
possono considerare come sostanzialmente equivalenti e vengono raggruppate in un'unica classe di equivalenza detta
varietà algebrica astratta.
Varietà algebriche differenziabili
Se è il campo dei numeri complessi, una varietà algebrica localmente isomorfa a è dotata anche di una
struttura di → varietà differenziabile m-dimensionale; la varietà in questo caso è priva di punti singolari. Si dimostra
anche che una varietà algebrica differenziabile è equivalente all'insieme degli zeri di una famiglia di funzioni
algebriche analitiche.
Generalizzazioni
La geometria algebrica moderna ha rivisto integralmente la definizione di varietà algebrica, rendendola
considerevolmente più astratta, con l'obiettivo di estenderne l'uso oltre le limitazioni della teoria classica, ad esempio
per poter definire varietà algebrica su campi non algebricamente chiusi.
Una varietà viene definita come uno schema, ovvero uno spazio topologico dotato di un fascio di anelli locali, che
hanno inoltre la proprietà di essere K-algebre finitamente generate. In tal modo ogni punto della varietà possiede un
intorno dotato di una struttura di anello locale e isomorfo allo spettro di un anello; viene solitamente imposta la
condizione che sia possibile ricoprire l'intera varietà con un numero finito di intorni.
Ulteriori estensioni si possono ottenere utilizzando fasci di anelli che non sono domini di integrità, oppure
possiedono elementi nilpotenti.
Bibliografia
• (EN) Robin Hartshorne. Algebraic Geometry. Springer-Verlag, 1997. ISBN 0387902449
• (EN) David Cox, John Little, Don O'Shea. Ideals, Varieties, and Algorithms. Springer-Verlag, 1997. ISBN
0387946802
Voci correlate
• → Varietà affine
• Congettura di Hodge
• Schema
• Teoria delle categorie
• Teoria di Galois