Geometria - Autistici

Prodotto scalare 142
Matrice associata
In modo analogo alla matrice associata ad una applicazione lineare, fissata una base , un prodotto
scalare φ è identificato dalla matrice simmetrica associata M, definita nel modo seguente:
D'altro canto, ogni matrice simmetrica dà luogo ad un prodotto scalare. Vediamo più sotto che molte proprietà del
prodotto scalare e della base possono essere lette sulla matrice associata.
Radicale
Il radicale di un prodotto scalare è l'insieme dei vettori v in V per cui
per ogni w in V. Il radicale è un sottospazio vettoriale di V. Il prodotto scalare si dice degenere se il radicale ha
dimensione maggiore di zero.
Se V ha dimensione finita e M è la matrice associata a φ rispetto ad una qualsiasi base, applicando il teorema della
dimensione si trova facilmente che:
dove rk(M) è il rango di M e rad(V) è il radicale. Quindi un prodotto scalare è non degenere se e solo se la matrice
associata è invertibile. Definiamo quindi il rango del prodotto scalare come rk(M).
Un prodotto scalare definito positivo o negativo è necessariamente non degenere. Non è vero il contrario: infatti il
prodotto scalare sul piano associato (rispetto alla base canonica) alla matrice
non è degenere, ma non è né definito positivo né definito negativo.
Vettori isotropi
Un vettore v è isotropo se = 0. Tutti i vettori del radicale sono isotropi, ma possono esistere vettori isotropi
che non appartengono al radicale. Ad esempio, per il prodotto scalare associato alla matrice A descritta sopra il
vettore è isotropo ma non è contenuto nel radicale, che ha dimensione zero.
Ortogonalità
Due vettori v e w si dicono ortogonali se . Il sottospazio ortogonale ad un sottospazio W di V è definito
come
Il sottospazio ortogonale è appunto un sottospazio vettoriale di V. Contrariamente a quanto accade con il prodotto
canonico nello spazio euclideo, un sottospazio ed il suo ortogonale non si intersecano in un punto solo: possono
addirittura coincidere! Per quanto riguarda le loro dimensioni, vale la seguente disuguaglianza:
Se il prodotto scalare è non degenere, vale l'uguaglianza
Infine, se il prodotto scalare è definito positivo o negativo, effettivamente uno spazio ed il suo ortogonale si
intersecano solo nell'origine e sono in somma diretta: otteniamo cioè