Geometria - Autistici

Geometria iperbolica 202
Parallelismo
La nozione di parallelismo in geometria
iperbolica differisce molto da quella presente
nella geometria euclidea.
Il quinto postulato iperbolico asserisce che, data
una retta ed un punto disgiunto da ,
esistono almeno due rette parallele a passanti
per . Dal postulato risulta però che tali rette
sono infinite: questo segue dai fatti seguenti.
1. Sia il punto di più vicino a . Il
segmento è perpendicolare a (si
veda la figura). Ogni retta passante per
è adesso identificata dall'angolo che
forma con il segmento . L'angolo è
detto angolo di parallelismo di e .
2. Se due rette e sono parallele a ,
queste formano angoli diversi e : ogni
altra retta con un angolo compreso fra e
risulta essere parallela a .
Le rette parallele a una data passanti per formano un angolo , detto
angolo di parallelismo.
Le rette parallele a passanti per sono tutte e sole le rette con angolo di parallelismo appartenente ad un
intervallo chiuso . Le rette con angolo di parallelismo e sono dette asintoticamente
equivalenti a , perché in una direzione queste si avvicinano sempre più a , senza mai intersecarla. Due rette
parallele che non sono asintoticamente equivalenti sono iperparallele: queste si distanziano in entrambe le direzioni
in modo esponenziale.
In geometria iperbolica la nozione di parallelismo è quindi più complessa che nella geometria euclidea: ad esempio,
la nozione non è una relazione di equivalenza, perché non vale la proprietà transitiva.
Un quadrato è un poligono con 4 lati di eguale
lunghezza e 4 angoli uguali . Nella geometria
euclidea deve essere un angolo retto. In quella
iperbolica, può essere un qualsiasi angolo acuto.