Geometria - Autistici

Rappresentazione matriciale delle coniche 116
Rappresentazione matriciale delle coniche
In → matematica, la rappresentazione matriciale delle coniche è una rappresentazione delle → coniche tramite
matrici.
Invarianti delle coniche
È infatti possibile definire tre valori associati ad ogni conica, che si definiscono invarianti. Data una conica di
equazione
è possibile associare tre numeri:
l'invariante cubico è il seguente numero:
l'invariante quadratico è definito nella maniera seguente:
l'invariante lineare è definito come segue:
=
=
Classificazione metrica delle coniche
,
In base a quanto detto sugli invarianti, è possibile classificare le coniche, e quindi stabilire se una curva sia un'ellisse,
una parabola o un'iperbole, tramite la seguente distinzione:
se la conica è degenere e in particolare:
• se , si riduce a due rette reali distinte
• se , si riduce a
1) coppia di rette reali distinte parallele oppure complesse coniugate senza punti comuni (rango matrice completa
=2)
2) coppia di rette reali coincidenti (rango matrice completa =1)
• se , si riduce a due rette immaginarie coniugate.
se la conica non è degenere ed in particolare:
• è un'iperbole equilatera se e ,
• è un'iperbole non equilatera se ma ,
• è una parabola se ,
• è un'ellisse reale se e ,
• è un'ellisse immaginaria se ma .
Ad esempio, la conica di equazione: , avendo e , è una conica degenere in due
rette reali distinte: e .