Geometria - Autistici

Geometria iperbolica 201
Modello dell'iperpiano
Il modello del semipiano è simile al modello del disco. Lo spazio iperbolico è il semipiano del piano cartesiano
formato dal I e dal II quadrante: l'asse delle ascisse non è inclusa. Le "rette" sono archi di circonferenza ortogonali
all'asse delle ascisse. Gli angoli sono quelli formati dalle rette tangenti.
Modello di Klein
Nel modello di Klein lo spazio iperbolico è (come nel modello del
disco) l'insieme dei punti interni ad un cerchio . Le rette sono
però segmenti veri e propri: la maggiore semplicità nel descrivere
le rette viene però pagata nella descrizione degli angoli, che sono
distorti rispetto agli angoli euclidei: l'angolo formato da due rette
non è quello euclideo, ma dipende da questo tramite una formula
opportuna.
Lo spazio iperbolico può essere rappresentato come
una delle due "falde" di un iperboloide, ad esempio
quella superiore. Le rette sono le intersezioni con i
piani passanti per il centro dell'iperboloide.
Modello dell'iperboloide
Il V postulato della geometria iperbolica nel modello di
Klein.
Nel modello dell'iperboloide lo spazio iperbolico è descritto con
l'ausilio dell'→ algebra lineare. Lo spazio iperbolico è un
iperboloide contenuto nello spazio tridimensionale, e le rette sono
le intersezioni dell'iperboloide con un piano passante per il centro
dell'iperboloide. La descrizione matematica di questo modello ha
forti analogie con lo spaziotempo di Minkowski: la distanza fra
due punti è la stessa usata nella relatività speciale.
Questo modello è agevole per effettuare alcuni conti, perché si
poggia sugli strumenti dell'algebra lineare. Risulta però meno
intuitivo e più difficile da visualizzare, perché contenuto nello
spazio tridimensionale anziché nel piano.
Proprietà