Geometria - Autistici

Sezione conica 109
Sezione conica
In → matematica, e in particolare in →
geometria analitica e in → geometria
proiettiva, con sezione conica, o
semplicemente conica, si intende
genericamente una curva piana che sia luogo
dei punti ottenibili intersecando la superficie di
un cono circolare retto con un → piano.
Le sezioni coniche sono state studiate
accuratamente in epoca ellenistica, in
particolare da Apollonio di Perga intorno al
200 a.C.; questi diede anche i nomi tuttora in
uso per i tre tipi fondamentali di sezioni
coniche: ellisse (la circonferenza ne è un caso
degenere), parabola e iperbole.
Tipi di sezioni piane di un cono
Consideriamo il cono circolare retto costituito
dalle rette generatrici che con il suo asse
formano un angolo di ampiezza θ. Ricordiamo
che i punti del cono si tripartiscono in tre
sottoinsiemi: uno costituito solo dal suo vertice
e due sottinsiemi separatamente connessi dette
falde o nappe. Le ellissi si ottengono
intersecando il cono con piani che con il suo
Tipi di sezioni coniche: i piani, intersecando il cono, descrivono una
circonferenza (in giallo), un'ellisse (in rosso), una parabola (in blu) e
un'iperbole (in verde)
asse formano angoli maggiori di θ e minori o uguali a π/2; ciascuna di tali intersezioni appartiene ad una sola delle
due falde del cono ed è una curva chiusa. Le circonferenze sono casi particolari di ellissi ottenute dalla intersezione
del cono con un piano perpendicolare al suo asse. Il fatto di essere curve chiuse rende le ellissi e le circonferenze
facilmente visualizzabili. Se si interseca il cono con un piano parallelo a una sua retta generatrice si ottiene una
conica chiamata parabola; ogni parabola appartiene ad una sola delle falde del cono e non è una curva chiusa. Infine
intersecando il cono con piani che formano con il suo asse angoli inferiori a θ si determinano curve aperte (e
illimitate) chiamate iperboli; questi piani intersecano entrambe le falde del cono ed ogni iperbole, in quanto insieme
di punti, si bipartisce in due sottoinsiemi connessi detti rami della conica.
Le curve precedenti sono dette coniche non degeneri. Vi sono poi le cosiddette coniche degeneri ottenute
servendosi di piani che passano per il → vertice del cono: si distinguono i tre casi che seguono.
Se si interseca il cono con un piano che con l'asse forma un angolo superiore a θ si ottiene un semplice punto,
il vertice del cono.
Se si interseca il cono con un piano che con l'asse forma un angolo uguale ad θ si ottiene una linea retta, una
generatice del cono.
Se si interseca il cono con un piano che con l'asse forma un angolo inferiore ad θ si ottiene una coppia di rette
che coincidono con due generatrici del cono; esse hanno come bisettrice la retta intersezione del piano secante
con il piano ad esso ortogonale e passante per l'asse del cono.