Geometria - Autistici

Prodotto scalare 140
Equivalenza fra le due definizioni
L'equivalenza fra le due definizioni può essere verificata facendo uso del teorema del coseno. Nella forma descritta
sopra, il teorema asserisce che il prodotto scalare di due vettori a e b nel piano, definito in modo geometrico, è pari a
Ponendo a = [a 1 , a 2 ] e b = [b 1 , b 2 ] ed usando il → teorema di Pitagora si ottiene
L'equivalenza in uno spazio euclideo di dimensione arbitraria può essere verificata in modo analogo.
Proprietà algebriche
Il prodotto scalare fra vettori dello spazio euclideo soddisfa un certo numero di proprietà algebriche.
Simmetria e bilinearità
Il prodotto scalare è una funzione di due variabili simmetrica; vale cioè l'uguaglianza
per ogni coppia di vettori a e b.
Il prodotto scalare è anche bilineare, valgono cioè le relazioni:
•
•
•
•
per ogni tripletta di vettori a, b, c e per ogni numero reale . Le prime due relazioni esprimono la "linearità a
destra" e le altre due "a sinistra".
Tutte queste proprietà sono espresse sinteticamente affermando che il prodotto scalare è una forma bilineare
simmetrica.
Definito positivo
Il prodotto scalare di un vettore con se stesso è sempre maggiore o uguale a zero:
Inoltre, questo è zero se e solo se il vettore è zero:
Questa proprietà può essere espressa affermando che il prodotto scalare è definito positivo.
Generalizzazioni
La nozione di prodotto scalare è generalizzata in → algebra lineare dallo spazio euclideo ad uno → spazio vettoriale
qualsiasi: tale spazio può avere dimensione infinita ed essere definito su un campo arbitrario K. Questa
generalizzazione è di fondamentale importanza ad esempio in → geometria differenziale e in meccanica razionale.
Dotata di ulteriore struttura, porta inoltre ai concetti di spazio di Hilbert e spazio di Banach, usati in vari rami della
matematica e della fisica, quali ad esempio la meccanica quantistica e l'analisi funzionale.
Il prodotto scalare in questo contesto è una funzione che associa ad una coppia di vettori un numero (uno scalare),
con determinate proprietà.