Geometria - Autistici
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Sottospazio affine 155<br />
avente come primi vettori colonna la base di ha rango pari a . Quest'ultima condizione può essere espressa<br />
come l'annullamento dei determinanti di tutti i minori di ordine . Ciascuno di questi determinanti fornisce<br />
una equazione lineare nelle variabili ; queste equazioni lineari insieme formano un sistema lineare che<br />
descrive il sottospazio in forma parametrica.<br />
Relazioni fra sottospazi<br />
Due sottospazi affini sono detti:<br />
• incidenti quando hanno intersezione non vuota,<br />
• paralleli quando una delle due giaciture è contenuta nell'altra,<br />
• sghembi quando l'intersezione è vuota e le due giaciture si intersecano solo nell'origine,<br />
• esiste un altro caso che si presenta solo in spazi affini di dimensione 4 o superiore, ovvero quando i due sottospazi<br />
hanno intersezione vuota, nessuna delle due giaciture è contenuta nell'altra ma queste si intersecano in un<br />
sottospazio più grande dell'origine.<br />
Per i sottospazi affini non vale la formula di Grassmann: questo è il prezzo da pagare per aver liberato i sottospazi<br />
dalla costrizione di passare per un punto privilegiato. La → geometria proiettiva risolve questo problema (cioè<br />
recupera la formula di Grasmann) aggiungendo allo spazio affine dei "punti all'infinito".<br />
Esempi<br />
Le relazioni di incidenza e parallelismo possono essere determinate con l'ausilio dell'→ algebra lineare. Ad esempio,<br />
due piani in descritti in forma cartesiana<br />
sono paralleli precisamente quando la matrice dei coefficienti ha rango 1:<br />
Altrimenti per il teorema di Rouché-Capelli i due piani si intersecano in una retta. Due piani nello spazio non<br />
possono quindi essere sghembi.<br />
Discorso analogo è valido per due iperpiani in (ad esempio, due rette nel piano ). Due rette nello spazio<br />
possono però essere sghembe.<br />
Formula di Grassmann<br />
La formula di Grassmann è valida in geometria affine soltanto se gli spazi affini si intersecano. Quindi se due spazi<br />
affini e hanno intersezione non vuota vale la formula<br />
dove è il sottospazio affine generato da e .<br />
Voci correlate<br />
• → <strong>Geometria</strong> affine<br />
• → Spazio affine<br />
• Fascio di piani<br />
• Fascio di rette
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