Geometria - Autistici

Sezione conica 114
Riprendiamo ancora l'equazione (3),
ma questa volta assumiamo che il coefficiente di x 2 non si annulli ma sia invece positivo. Risolviamo per la y:
Questa equazione descriverebbe chiaramente un'ellisse, se non fosse presente il secondo termine sotto il segno di
radice, 2 m b x: sarebbe l'equazione di una circonferenza dilatata proporzionalmente secondo le direzioni dell'asse
delle x e dell'asse delle y. L'equazione (8) in effetti individua un'ellisse ma in modo non evidente; quindi occorre
manipolarla ulteriormente per convincersi di questo fatto. Completiamo il quadrato sotto il segno di radice:
Raccogliamo i termini in b 2 :
Dividiamo per a ed eleviamo al quadrato entrambi i membri:
La x presenta un coefficiente, mentre è opportuno far scomparire tale componente raccogliendolo a fattore fuori del
secondo termine che è un quadrato:
Un'ulteriore manupolazione delle costanti finalmente conduce a
Il coefficiente del termine in y è positivo (per un'ellisse). Cambiando i nomi dei coefficienti e delle costanti ci
conduce a
che è chiaramente l'equazione di un'ellisse. In altri termini, l'equazione (9) descrive una circonferenza di raggio R e
centro (C,0) che viene poi dilatata verticalmente per un fattore . Il secondo termine del membro a sinistra (il
termine nella x) non ha coefficiente ma è un quadrato, quindi deve essere positivo. Il raggio è un prodotto di quadrati
e quindi deve essere anch'esso positivo. Il primo termine del membro a sinistra (il termine in y) ha un coefficiente
.
.