Geometria - Autistici

Geometria iperbolica 199
Il disco di Poincaré è un modello di geometria iperbolica. Nella
figura è descritta una tassellazione del disco tramite triangoli
iperbolici: nonostante appaiano diversi, nella geometria iperbolica
questi triangoli sono in realtà tutti congruenti, cioè di eguale
grandezza. A partire di tassellazioni di questo tipo Escher ha
Cenni storici
costruito alcune delle sue famose litografie.
La geometria iperbolica nasce nel XIX secolo come strumento ad hoc
per risolvere un problema aperto da secoli e noto già allo stesso
Euclide: il V postulato di Euclide è effettivamente indipendente dai
precedenti, o può essere dimostrato a partire da questi? La geometria
iperbolica, che soddisfa i primi 4 postulati ma non il quinto, ne mostra
l'effettiva indipendenza.
La geometria iperbolica però non viene accettata subito come vera e
propria geometria, con dignità pari a quella euclidea. Le scoperte di
Saccheri, Lambert, Legendre, Gauss, Schweikart, Taurinus,
Lobačevskij, Bolyai furono giudicate all’inizio sorprendenti e
paradossali e solo nel tempo hanno poi trovato una naturale
collocazione ed una rigorosa e logica giustificazione. Lentamente si è
scoperto che la geometria iperbolica non è soltanto frutto della
negazione del V postulato, ma è una geometria vera e propria con sue
proprietà e definizioni, che può essere considerata nuova rispetto a
quella euclidea.
La scoperta e lo sviluppo della geometria iperbolica sono quindi un
esempio fondamentale di un processo della ricerca matematica che è
divenuto usuale negli ultimi due secoli: in matematica può accadere
che, modificando un solo assioma, si possa costruire una nuova teoria
Nikolay Ivanovich Lobachevsky ha contribuito
alla nascita e allo sviluppo della geometria
iperbolica.
completa, dove decadono alcune proprietà che sembrano fondamentali, ma si possono scoprire nuovi enti geometrici
(come le iperparallele, gli orocicli e le orosfere, etc.) aventi proprietà comunque interessanti.