Geometria - Autistici

Algebra universale 54
Gruppi
Per vedere come funziona, si consideri la definizione di un gruppo. Normalmente un gruppo è definito in termini di
una singola operazione binaria *, soggetta ai seguenti assiomi:
• Associatività: x * (y * z) = (x * y) * z.
• Elemento identità: Esiste un elemento e tale che e * x = x = x * e.
• Elemento inverso: Per ogni x, esiste un elemento i tale che x * i = e = i * x.
(Talvolta si può incontrare un assioma chiamato "chiusura", che afferma: x * y appartiene all'insieme A se x e y vi
appartengono. Ma dal punto di vista dell'algebra universale, questo è già sottointeso quando si definisce * una
operazione binaria.)
Ora questa definizione di gruppo è problematica dal punto di vista dell'algebra universale. La ragione è che l'assioma
dell'elemento identità e dell'inverso non sono espressi puramente in termini di equazioni ma coinvolgono la frase
"esiste... tale che". Questo "non è permesso" nell'algebra universale. La soluzione non è difficile: si aggiunge una
operazione nullaria e e un'operazione unaria ~, in aggiunta all'operazione binaria *, e quindi si riscrivono gli assiomi
nel seguente modo:
• Associatività: x * (y * z) = (x * y) * z.
• Elemento identità: e * x = x = x * e.
• Elemento inverso: x * (~x) = e = (~x) * x.
(Naturalmente, scriviamo "x -1 " al posto di "~x", cosa che mostra come la notazione delle operazioni di bassa arità
può cambiare.)
ora, è necessario controllare se tutto questo cattura la definizione di gruppo. Infatti potrebbe essere necessario
specificare ulteriori informazioni rispetto alla definizione usuale di gruppo. Dopotutto, niente nella definizione di
gruppo afferma che l'elemento identità e è unico; se esiste un altro elemento e', allora il valore dell'operatore nullario
e è ambiguo. Comunque, questo non è un problema perché gli elementi identità sono sempre unici. Quindi la
definizione di gruppo dell'algebra universale è equivalente alla definizione usuale.
Moduli
Vedi Modulo (algebra).
Ulteriori questioni
Una volta definite le operazioni e gli assiomi per l'algebra, è possibile definire la nozione di omomorfismo fra due
algebre A e B. Un omomorfismo h: A → B è semplicemente una funzione dall'insieme A all'insieme B tale che, per
ogni operazione f (di arità, diciamo, n), h(f A (x 1 ,...,x n )) = f B (h(x 1 ),...,h(x n )). (Sono stati usati qui differenti pedici su f
per indicare le diverse versioni di f in A o in B. In teoria, è possibile stabilirlo dal contesto, così di solito i pedici sono
omessi). Per esempio, se e è una costante (operazione nullaria), allora h(e A ) = e B . Se ~ è un'operazione unaria, allora
h(~x) = ~h(x). Se * è un'operazione binaria, allora h(x * y) = h(x) * h(y). E così via. Vedi anche Omomorfismo.
Il numero di risultati dell'algebra universale è molto vasto. La motivazione per il campo sono i numerosi esempi di
algebre (nel senso dell'algebra universale), come monoidi, anelli, e reticoli. Prima che arrivasse l'algebra universale,
molti teoremi (specialmente i teoremi sugli isomorfismi) erano provati separatamente in ognuno di questi campi, ma
con l'algebra universale, si possono provare una volta per tutte in ogni tipo di sistema algebrico.
Un programma ancora più generale lungo questa linea è portato avanti dalla teoria delle categorie. La teoria delle
categorie si applica in molte situazioni nelle quali l'algebra universale non si applica, estendendo la portata dei
teoremi. Al contrario, alcuni teoremi che valgono nell'algebra universale non si generalizzano in nessun modo nella
teoria delle categorie. Quindi entrambi i campi sono utili. La connessione è che, data una lista di operazioni e
assiomi, le algebre e gli omomorfismi corrispondenti sono oggetti e morfismi di una categoria.