Geometria - Autistici

Piano proiettivo 175
Voci correlate
• → Geometria proiettiva
• → Spazio proiettivo
Retta proiettiva
In → matematica, e più precisamente in → geometria proiettiva, la retta proiettiva è un'estensione della retta,
ottenuta aggiungendo il "punto all'infinito".
Nel caso della retta reale, si distingue dalla retta estesa, che è ottenuta aggiungendo due punti all'infinito, uno per
ogni direzione: e .
A differenza della retta estesa, che è definita soltanto per i numeri reali, il concetto di retta proiettiva si applica poi su
qualsiasi campo (ad esempio, il campo dei complessi), ed è la versione 1-dimensionale del concetto più generale di
→ spazio proiettivo.
Definizione
Una definizione informale di retta proiettiva, dipendente da un campo , potrebbe essere data aggiungendo
semplicemente un punto a , chiamato "infinito" o . Una definizione di questo tipo non mostra però come
questo nuovo punto debba essere considerato nella nuova struttura: si sceglie quindi (come in tutti gli → spazi
proiettivi) una definizione più formale ed omogenea, apparentemente molto diversa, che considera subito tutti i punti
allo stesso livello. Le due descrizioni arrivano quindi a coincidere al momento in cui si deciderà che un dato punto è
"quello all'infinito".
Quoziente
Sia un campo. La retta proiettiva su è definita a partire dal piano
rimuovendo l'origine e quozientando per la relazione d'equivalenza
che identifica due punti ottenuti l'uno dall'altro tramite riscalamento per un fattore . In altre parole, identifica tutti
i punti presenti su ogni singola retta passante per l'origine. Formalmente:
Coordinate omogenee
Come in ogni spazio proiettivo, ogni punto della retta proiettiva è quindi identificato da una coppia di → coordinate
omogenee
dove si intende che moltiplicando entrambi i valori e per un numero si ottiene lo stesso punto :