Geometria - Autistici

Geometria iperbolica 203
Poligoni
Come nella geometria euclidea, un segmento è una porzione di
retta delimitata da due punti (i suoi estremi), ed un → poligono è
una figura delimitata da una successione di segmenti, tale che due
segmenti successivi si intersecano agli estremi.
Le relazioni fra lunghezze dei lati e angoli interni in geometria
iperbolica sono però ben diverse da quelle presenti nella geometria
euclidea. Ad esempio, la somma degli angoli interni di un
triangolo iperbolico è strettamente minore di : questa può
assumere qualsiasi valore nell'intervallo aperto . Gli angoli
interni nella geometria iperbolica sono più piccoli.
Questo fatto si estende a tutti i poligoni: la somma degli angoli
interni di un poligono iperbolico con lati è un numero variabile
nell'intervallo . Ad esempio:
• Esistono quadrati aventi angoli interni per ogni tale che
: un esempio è mostrato in figura.
In geometria iperbolica, la somma
• Per ogni esiste un poligono di lati della stessa lunghezza con angoli tutti retti.
Costruzioni con riga e compasso
degli angoli interni di un triangolo è minore di (o
Nella geometria iperbolica è possibile costruire con riga e compasso il segmento avente come angolo di parallelismo
un angolo dato.
In alcuni casi è possibile la quadratura del cerchio, contrariamente a quanto accade nella → geometria euclidea, dove
non è mai possibile determinare con riga e compasso il lato di un quadrato avente la medesima area di un cerchio
dato.
Trigonometria
Un altro risultato interessante è dato dalle formule della trigonometria della sfera che sono le stesse sia nello spazio
iperbolico sia in quello euclideo poiché le proprietà della geometria della sfera derivano dalle proprietà degli
angoloidi e dei triedri, le quali sono proprietà di geometria assoluta.
Il discorso vale anche nel piano, dove la trigonometria iperbolica piana non è altro che la trigonometria applicata su
una sfera con raggio immaginario.
180°).