Geometria - Autistici

Prodotto scalare 139
Applicazioni
In fisica
Nella fisica classica, il prodotto scalare è usato nei contesti in cui si
debba calcolare la proiezione di un vettore lungo una determinata
componente. Ad esempio, il lavoro prodotto da una forza su un
corpo che si sposta in direzione è il prodotto scalare
dei due vettori.
In geometria
Il teorema del coseno può essere formulato agevolmente usando il
prodotto scalare. Dati tre punti qualsiasi del piano, vale la
relazione seguente:
Espressione analitica
Il lavoro è il prodotto scalare fra i vettori e
Il prodotto scalare è definito in → geometria analitica in modo differente: si tratta della funzione che, in un qualsiasi
spazio euclideo associa a due vettori a = [a 1 , a 2 , ... , a n ] e b = [b 1 , b 2 , ... , b n ] il numero
dove Σ denota una sommatoria.
Ad esempio, il prodotto scalare di due vettori tridimensionali [1, 3, −2] e [4, −2, −1] è [1, 3, −2]·[4, −2, −1] = 1×4 +
3×(−2) + (−2)×(−1) = 0.
In questo modo è possibile definire l'angolo θ compreso fra due vettori in un qualsiasi spazio euclideo, invertendo la
formula data sopra, facendo cioè dipendere l'angolo dal prodotto scalare e non viceversa:
Notazioni
Spesso il prodotto scalare fra a e b si indica anche come o come .
Utilizzando il prodotto tra matrici e considerando i vettori come matrici , il prodotto scalare canonico si scrive
anche come
dove a T è la trasposta di a. L'esempio visto sopra si scrive quindi in notazione matriciale nel modo seguente:
.