Geometria - Autistici

Algebra 44
Algebra lineare
L'→ algebra lineare è l'algebra utile a studiare le equazioni lineari. Protagonista dell'algebra lineare è lo → spazio
vettoriale, una struttura che generalizza il piano cartesiano e permette di definire spazi di dimensione arbitraria.
L'algebra lineare è di importanza fondamentale in molte discipline scientifiche.
Algebra associativa
Teoria dei gruppi
Il gruppo è una struttura algebrica caratterizzata da una singola operazione binaria che soddisfa alcune proprietà. Può
essere data una struttura di gruppo ad esempio ai numeri interi (con l'operazione somma), oppure l'insieme delle
simmetrie di un particolare oggetto geometrico (con l'operazione di composizione di funzioni).
La teoria dei gruppi studia queste strutture. Fornisce risultati che si applicano in tutta la → geometria, e in particolare
alla topologia, e allo studio delle simmetrie. Ha anche una forte correlazione con la combinatoria: l'insieme delle
permutazioni di un insieme è ad esempio un gruppo rispetto alla composizione di funzioni.
Teoria degli anelli
Un anello è una struttura algebrica che arricchisce quella di gruppo commutativo, aggiungendovi una seconda
operazione binaria: le due operazioni binarie devono soddisfare degli assiomi simili a quelli che valgono per le
operazioni di somma e prodotto dei numeri interi. Tra gli insiemi che risultano essere degli anelli, troviamo l'insieme
dei polinomi o delle matrici (con opportune operazioni di somma e prodotto) e l'insieme Q (numeri razionali).
La teoria degli anelli studia queste strutture. Si applica allo studio delle radici di un polinomio, all'→ algebra lineare
(tramite ad esempio lo studio delle matrici, o di strumenti raffinati quali il polinomio caratteristico e il polinomio
minimo), e in un modo più avanzato alla → geometria algebrica.
Teoria dei campi
Un campo è un anello che deve soddisfare degli assiomi ulteriori, che molte strutture semplici non soddisfano: ad
esempio gli interi non sono un campo, mentre i razionali sì.
La teoria dei campi studia queste strutture. I campi sono l'oggetto base necessario per la definizione degli → spazi
vettoriali e quindi per tutta l'→ algebra lineare. Sono anche i protagonisti della teoria di Galois.
Algebra non associativa
Altre branche dell'algebra astratta
Oltre alle strutture già descritte, l'algebra ne studia molte altre, tra cui semigruppi, reticoli, moduli, algebre su campo,
bialgebre, algebre di Hopf, superalgebre.
L'→ algebra commutativa studia gli anelli commutativi e le loro applicazioni in → geometria algebrica. L'algebra
non commutativa, per contro, si occupa degli anelli non commutativi.
• La teoria delle rappresentazioni studia le realizzazioni mediante matrici di varie strutture algebriche, in particolare
dei gruppi finiti, dei gruppi di Lie e delle algebre di Lie.
• L'→ algebra universale studia le proprietà comuni a tutte le strutture algebriche sopra accennate o almeno a estese
collezioni di strutture algebriche caratterizzate da proprietà dei rispettivi sistemi di assiomi; questo settore
dell'algebra ha molti punti in comune con la teoria delle categorie.
• L'algebra computazionale studia gli algoritmi per la manipolazione simbolica di oggetti matematici.
• L'algebra applicata si occupa delle applicazioni dell'algebra, come quelle riguardanti la crittografia.