Geometria - Autistici

Criteri di congruenza dei triangoli 73
Triangoli rettangoli
Nel caso dei triangoli rettangoli, un angolo è sempre noto: quello retto. In più, grazie al → teorema di Pitagora,
avendo due lati è sempre possibile determinare il terzo. Di conseguenza, i tre criteri possono essere semplificati:
• due triangoli rettangoli sono congruenti quando hanno due cateti ordinatamente congruenti
• due triangoli rettangoli sono congruenti quando hanno uno degli angoli acuti e l'ipotenusa, oppure un cateto,
ordinatamente congruenti
• due triangoli rettangoli sono congruenti quando hanno un cateto e l'ipotenusa ordinatamente congruenti
Occorre tener presente il fatto che, anche se il teorema di Pitagora rende banale l'ultima delle tre affermazioni
precedenti, esso non è però necessario ai fini della sua dimostrazione. Per la dimostrazione del teorema di Pitagora
sono infatti necessari altri concetti oltre a quello di congruenza, e cioè quello di equivalenza (più precisamente, di
equiscomponibilità) oppure quello di → similitudine
Riferimenti
[1] D. Hilbert, Fondamenti della Geometria, Cap. II, par. 11, p.45 (Milano: Feltrinelli, 1970)
[2] Hilbert dimostra che è possibile definire la lunghezza di un segmento in modo che tutti i postulati di Euclide siano soddisfatti, ma il 1° criterio
non sia valido. Di conseguenza il 1° criterio deve essere considerato come un postulato addizionale. Esso costituisce l'assioma III.6 degli
Assiomi di Hilbert.
[3] si tratta della proposizione 26 contenuta nel libro 1 degli Elementi: http:/ / aleph0. clarku. edu/ ~djoyce/ java/ elements/ bookI/ propI26. html
Teorema della mediana
Il teorema della mediana è un teorema di → geometria derivato dalla legge del coseno o teorema di Carnot.
Enunciato
In un triangolo il doppio del quadrato della mediana relativa ad un lato è uguale alla somma dei quadrati
degli altri due lati diminuito della metà del quadrato del primo lato.
In altri termini, con riferimento al triangolo OAB vale l'identità:
Prima dimostrazione
Ponendo:
Si ha:
, dove M è il punto medio di AB.
Elevando al quadrato → scalare i membri delle ultime uguaglianze si ha:
sviluppando i calcoli si ottiene: