Geometria - Autistici

Geometria differenziale 187
Voci correlate
• topologia differenziale
• → geometria algebrica
• Luigi Bianchi
• Tullio Levi-Civita
Riferimenti
[1] http:/ / gallica. bnf. fr/ document?O=N099673
[2] http:/ / gallica. bnf. fr/ notice?N=FRBNF35580680
[3] http:/ / gallica. bnf. fr/ notice?N=FRBNF30300019
[4] http:/ / www. archive. org/ details/ treatonthediffer00eiserich
[5] http:/ / gallica. bnf. fr/ notice?N=FRBNF37265259
Varietà differenziabile
La nozione di varietà differenziabile è una generalizzazione del concetto di curva e di superficie differenziabile in
dimensioni arbitrarie. Si tratta di una realizzazione del concetto di varietà che fa uso degli strumenti del calcolo
infinitesimale.
Introduzione
Così come una curva differenziabile è un oggetto che localmente assomiglia ad una retta, o una superficie che
localmente assomiglia ad un → piano, una varietà n-dimensionale somiglierà localmente ad uno spazio euclideo
n-dimensionale. L'aggettivo "differenziabile" indica il fatto che questa "somiglianza" locale è definita mediante
parametrizzazioni dotate di una struttura differenziabile che verrà descritta in seguito e che garantisce la possibilità
di associare univocamente in ogni punto uno "spazio tangente" della stessa dimensione della varietà (come ad
esempio una retta tangente a una curva o un piano tangente a una superficie).
Le varietà differenziabili (in inglese differentiable manifold, mentre il termine variety è riservato alle → varietà
algebriche) sono gli elementi di base della → geometria differenziale, punto d'incontro di analisi e topologia.
Essenzialmente la teoria delle varietà differenziabili serve a trasferire su oggetti tipicamente descritti come spazi
topologici i concetti e gli strumenti del calcolo differenziale, definito generalmente sugli spazi euclidei. Lo studio
delle varietà differenziabili è fondamentale in fisica, in quanto permette di definire campi vettoriali e flussi di fase su
spazi non necessariamente piatti, ma trova innumerevoli applicazioni anche nella → matematica pura, grazie alle
interconnessioni con altre branche quali la topologia e la → teoria dei numeri.
Definizione
Una varietà differenziabile è una varietà topologica, tale che gli "incollamenti" fra gli aperti euclidei sono
funzioni differenziabili. In altre parole, è una varietà topologica munita di un atlante massimale le cui funzioni di
transizione sono differenziabili.
Proprietà
La "differenziabilità" viene trasportata sulla varietà interamente dallo spazio euclideo
d ; in modo analogo tutte le
proprietà e definizioni in geometria differenziale che riguardano la differenziabilità si effettuano trasferendo le
analoghe proprietà dallo spazio euclideo alla varietà tramite le carte. Essendo ogni insieme W isomorfo a un aperto
j
d
di , tutti i teoremi locali del calcolo differenziale ordinario si possono estendere direttamente alle varietà.