B - Prírodovedecká fakulta - Univerzita Komenského

Učebné texty z matematiky pre 1. ročník geológie
100
Stacionárne body. Prvú deriváciu položíme rovnú nule:
1
'
1
' 1 0 2 = − = ⎟
⎛ ⎞
1
y = ⎜ x +
. Z tohto vyplýva, že 1 2
⎝ x ⎠ x
= . Stacionárne body sú teda dva:
x
x = ± 1.
Intervaly monotónnosti. Bod nespojitosti a stacionárne body rozdelili záujmovú
oblasť na štyri intervaly: ( − ∞;−1)
, ( − 1;
0)
, ( 0 ; 1)
, ( ; ∞)
1 . Intervaly rastu a klesania
zistíme tak, že dosadíme akékoľvek číslo z jednotlivých intervalov a zistíme, či je
v nich prvá derivácia kladná alebo záporná. Zvolíme, napríklad, hodnoty
{ 2; −0,
5;
0,
5;
2}
− . Dosadíme a máme y ' ( −2)
= 0,
75 > 0 , y ' ( −0,
5)
= −3
< 0 ,
y ' ( 0,
5)
= −3
< 0 , y ' ( 2)
= 0,
75 > 0 . Preto na intervale ( − ∞;−1)
je funkcia rastúca, na
intervale ( − 1;
0)
klesajúca, na intervale ( 0 ; 1)
klesajúca a na intervale ( ; ∞)
1 rastúca.
Intervaly konvexnosti a konkávnosti. Vypočítame druhú deriváciu:
⎛
⎝
1
''
⎞
+
x ⎠
1
'
⎛ ⎞
−
⎝ x ⎠
reálne čísla a záporná pre záporné reálne čísla (v nule nie je definovaná). Preto na
−3
y ''
= ⎜ x ⎟ = ⎜1
= 2 2 ⎟ x . Táto funkcia je podľa lekcie 2 kladná pre kladné
intervale ( − ∞;
0)
je funkcia rýdzo konkávna a na intervale ( ; ∞)
0 je rýdzo konvexná.
Lokálne a globálne extrémy. Z vyšetrenia stacionárnych bodov vyplýva, že prvá
derivácia je nulová pre x = ± 1.
Z vyšetrenia konvexnosti a konkávnosti už máme aj
druhú deriváciu. Druhá derivácia v stacionárnych bodoch je: y ' '(
−1)
= −2
< 0 a
y ' '(
1)
= 2 > 0 . Preto v bode x = −1
je ostré lokálne maximum a v bode x = 1 je ostré
lokálne minimum. Globálne extrémy funkcia nemá.
Poznámka. Ako viem, že je ostré? Tak, že stacionárny bod je osamotený, nie je
to interval stacionárnych bodov.
Inflexné body. Z vyšetrenia konvexnosti a konkávnosti vyplýva, že druhá
derivácia je nulová iba v bode x = 0 : y ' '(
0)
= 0 . Ale toto je bod nespojitosti, preto
inflexné body funkcia nemá.
Asymptoty. Asymptoty bez smernice zistíme pomocou jednostranných limít v
⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞
bode nespojitosti: lim x + ⎜ + ⎟=∞
a lim x − ⎜ + ⎟=−∞.
Limity sú nevlastné, preto má
x→0
⎝ x ⎠
x→0
⎝ x ⎠
funkcia asymptotu bez smernice, ktorej rovnica je x = 0 . Smernicu a kvocient pre