B - Prírodovedecká fakulta - Univerzita Komenského

Učebné texty z matematiky pre 1. ročník geológie
134
Príklad 67. Vypočítajte plochu plášťa rotačného telesa, ktoré vznikne rotáciou
grafu funkcie y = f (x)
okolo osi x.
a. x, 1 ; 20
b.
x
e , 0 ; 1
Riešenie. Všetky výsledky sú v štvorcových jednotkách.
20 20 20 2
2
⎡x⎤ Q = 2π ∫ x . 1+ x ' dx = 2π ∫x. 2dx = 2 2π ∫ x.dx = 2 2π ⎢ = 399π 2
2
⎥
⎣ ⎦
a. ( )
1 1 1 1
Poznámka. Absolútna hodnota nebola potrebná, pretože funkcia x je na
intervale 1 ; 20 kladná.
b.
e = t e = 1
Q = 2π e 1+ e ' dx = 2π e 1+ e dx = =
1
∫
0
x ( x 2 )
1
x
∫
0
( x
2
)
x
x
edx= dt
0
1
e = e
e
2
2
1+ t = t+ a
2
1− a
t =
2
a + 1
dt = − da 2
∫
= 2π 1+ t dt = 2a 2a =
1
Dh = 2 − 1 Hh =
2
e + 1 −e
2 2
e + 1− e 2 2 e + 1−e 4 2
⎛ 1− a ⎞⎛a + 1⎞ a + 2a + 1
=−2π ∫ ⎜a+ ⎟⎜ ⎟da
=−2π da =
2a 2a ∫ 4a
2−1⎝ ⎠⎝
2
⎠
2−1 3
2
⎡a
⎢
⎣ 4
1 ⎤
2 ⎥
4a ⎦
2
e + 1−e 2−1 ≅ 22.9430223411
=−2π + lna−
Poznámka. Tento príklad považujem za ťažší, pretože sa použili až dve
substitúcie a nevychádzali „pekné“ čísla. Bohužiaľ v praxi sú častejšie práve takého
príklady.
Príklad 68. Vypočítajte objem rotačného telesa, ktoré vznikne rotáciou grafu
funkcie y = f (x)
okolo osi x.
a. sin x + cos x , 0 ; 4π
b. tan x , 0; π / 4
c.
20
4 3
x + 2x , −
5;
10