B - Prírodovedecká fakulta - Univerzita Komenského

Lekcia 9 – Priebeh funkcií
Veta. Nech funkcia f (x)
má v bode x 0 deriváciu a nech má v tomto bode
extrém. Potom platí, že '( x0
) = 0
f .
Poznámka. Táto veta je iba nutná podmienka na to, aby bol v nejakom bode
extrém. Ale nie je to postačujúca podmienka, preto sa veta nedá obrátiť. Z toho vyplýva,
že v každom extréme, v ktorom existuje derivácia, je derivácia nulová. Ale
„nanešťastie“ neplatí, že by všade, kde nájdeme nulovú deriváciu, bol extrém.
Veta. Nech funkcia f (x)
má v bode 0
v tomto bode existuje druhá derivácia. Potom:
Ak '' ( x0
) > 0
f , tak je v bode 0
Ak '' ( x0
) < 0
f , tak je v bode 0
x prvú deriváciu f '( x0
) = 0 a nech
x ostré lokálne minimum.
x ostré lokálne maximum.
Poznámka a časté chyby. Prípad ( x ) = f ''
( x ) = 0
' 0
0
f tu nie je. V takomto
prípade sa o extréme nedá rozhodnúť iba na základe prvej a druhej derivácie, ale treba
počítať derivácie vyššie. Chyby sa najčastejšie vyskytujú preto, pretože sa funkcia
nesprávne zderivuje, pretože sa často stáva, že druhá alebo tretia derivácia sú dosť
zložité a neprehľadné funkcie.
( )
Veta. Nech 0 < k < n , n ≥ 2 , k, n∈ℵ
. Nech f ( x ) = 0
k
je nepárne, extrém v bode x 0 nie je. Ak n je párne, potom:
( )
Ak f ( x ) > 0
n
( )
Ak f ( x ) < 0
n
0
0
, tak je v bode x 0 ostré lokálne minimum.
, tak je v bode x 0 ostré lokálne maximum.
0
( )
a f ( x ) ≠ 0
n
0
. Ak n
Poznámka. Táto veta sa používa v prípadoch, keď f ( x ) = f ''
( x ) = 0
' 0
0
a o extréme teda stále nič nevieme. Treba zistiť, ktorá derivácia je ako prvá nenulová
a pozrieť sa, či je párna alebo nepárna. Pri nepárnej extrém neexistuje. Pri párnej
existuje a či je to minimum alebo maximum, rozhodne to, či je derivácia väčšia alebo
menšia ako nula.
Inflexný bod (Obr. 50). Bod x 0 , v ktorom sa funkcia mení z konvexnej na
konkávnu alebo z konkávnej na konvexnú, sa volá inflexný bod.
95