B - Prírodovedecká fakulta - Univerzita Komenského

Lekcia 5 - Limita funkcie 1
Poznámka. Limita sprava a limita zľava sa nemusia rovnať, aj keď vo väčšine
príkladov to tak je. Môže sa tiež stať, že limita z jednej strany existuje, a z druhej strany
neexistuje. Takýchto príkladov je málo.
Spojitosť funkcie
Spojitá funkcia v bode. Nech je funkcia f(x) definovaná na množine M. Funkcia
je spojitá v bode x ∈ M
0 , ak f ( x)
= f ( x0
)
lim
x→
x0
Spojitá funkcia na množine. Ak je funkcia spojitá v každom bode množiny M,
je spojitá na množine M.
Bod nespojitosti. Bod, v ktorom funkcia nie je spojitá, sa volá bod nespojitosti.
Bod nespojitosti prvého druhu. Ak má funkcia bod nespojitosti, ale má v ňom
konečnú limitu sprava alebo zľava, je to bod nespojitosti prvého druhu (Obr. 42).
Bod nespojitosti druhého druhu (Obr. 42). Ak má funkcia bod nespojitosti a
nemá v ňom konečnú limitu sprava alebo zľava, je to bod nespojitosti druhého druhu.
Poznámka. Dopredu niekedy nie je jednoduché len tak z predpisu funkcie
povedať, či sa jedná o bod nespojitosti prvého alebo druhého druhu. Na grafe sa ale bod
nespojitosti ľahko rozlíši. Ak vyzerá tak, že z grafu je len vyhryznutý bod, je to bod
nespojitosti prvého druhu. Graf sa dá ľahko „zaplátať“ tak, že medzeru „zapcháme“
jedným bodom. Nespojitosti sú vlastne „skoky“ na grafe. Ak je tento skok konečne
veľký, je to bod nespojitosti prvého druhu, ak je skok nekonečne veľký, je to bod
nespojitosti druhého druhu.
2
1
x
0
-2 -1 0 1 2
-1
-2
y
2
1
x
0
-2 -1 0 1 2
-1
-2
y
.
1
0
x
-5 -4 -3 -2 -1 -1 0 1 2 3 4 5
Obr. 42. Vľavo: Funkcia má tri body nespojitosti prvého druhu. V strede: Funkcia má
jeden bod nespojitosti prvého druhu. Vpravo: Funkcia má jeden bod nespojitosti druhého druhu.
5
4
3
2
-2
-3
-4
-5
y
59