B - Prírodovedecká fakulta - Univerzita Komenského

Učebné texty z matematiky pre 1. ročník geológie
98
Intervaly konvexnosti a konkávnosti. Vypočítame druhú deriváciu:
( ) ( ) 3
2
''
'
⎛ x ⎞ ⎛ − 2 ⎞ 4
⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ =
2 ⎜
2
⎟
. Teraz zistíme, kde je druhá derivácia menšia ako
⎝ x − ⎠ ⎝ x − ⎠ x − 2
nula. Čitateľ je kladný, preto výsledok závisí len od menovateľa. Ten je kladný pre
x > 2 , pretože podľa lekcie 2 je to kubická funkcia, posunutá o hodnotu 2 doprava.
Preto funkcia je rýdzo konvexná na intervale ( ; ∞)
( ∞;
2)
− .
2 . Rýdzo konkávna je na intervale
Lokálne a globálne extrémy. Z vyšetrenia stacionárnych bodov vyplýva, že prvá
derivácia nie je nikde nulová, preto lokálne ani globálne extrémy funkcia nemá (jediný
podozrivý bod x = 2 je bod nespojitosti).
Inflexné body. Z vyšetrenia konvexnosti a konkávnosti vyplýva, že druhá
derivácia nie je nikde nulová, preto funkcia nemá inflexné body (jediný podozrivý bod
x = 2 je bod nespojitosti).
Asymptoty. Asymptoty bez smernice zistíme pomocou jednostranných limít v
bodoch nespojitosti x = a (a ∈ R): lim f( x)
= ±∞ a lim f( x)
= ±∞ . Ak platí aspoň
+
x→a jedna z uvedených podmienok, potom funkcia má v skúmanom bode nespojitosti
−
x→a asymtotu bez smernice s rovnicou x = a. Zistili sme, že:
lim
+
x→2
x
=∞
x − 2
x
lim =−∞,
teda v bode 2 je asymptota bez smernice, ktorej rovnica je x = 2 .
−
x→2
x − 2
Asymptoty so smernicou majú rovnicu y = kx + q . Smernicu k a koeficient q zistíme
pomocou limít v nevlastných bodoch (-∞ aj ∞), ktoré musia byť vlastné. V opačnom
prípade, ak sú tieto limity nevlastné (rovné ±∞), funkcia nemá asymptoty so smernicou.
f( x)
1
⎛ x ⎞
Teda k1,2
= lim = lim = 0 a q1,2 = lim ( f( x) − k1,2 x)
= lim ⎜ ⎟=
1.
x→±∞ x x→±∞
x−2
x→±∞ x→±∞⎝
x − 2 ⎠
Funkcia má teda jednu asymptotu so smernicou. Rovnica tejto asymptoty je y = 1.
Záver. Na základe predošlých výsledkov je možné načrtnúť graf:
a