B - Prírodovedecká fakulta - Univerzita Komenského

Učebné texty z matematiky pre 1. ročník geológie
80
Vyššie derivácie
Vyššie derivácie. Keďže derivácia funkcie je funkcia, aj z výslednej funkcie je
2
d f
možné vypočítať deriváciu. Tak vznikne druhá derivácia f ''
= , z ktorej je možné
2
dx
vypočítať znova deriváciu. Takýchto derivácií môže byť nekonečne veľa. Potom n-tá
n
( n)
d f
derivácia je f = . n
dx
Derivácia neobvyklých funkcií
Derivácia neobvyklých funkcií. Tabuľka derivácií elementárnych funkcií stačí
približne v deviatich prípadoch z desiatich, možno aj častejšie. Napriek tomu existujú aj
také funkcie, na ktoré sa nedá napasovať ani jeden vzorec. Typický príklad je funkcia
x
x . Nemôžme použiť vzorec pre funkciu α
x , pretože α musí byť konštanta. Nemôžme
použiť vzorec pre funkciu x
a , pretože a musí byť konštanta. Vo všeobecnosti sa
derivácia takejto „funkcie na funkciu“ rieši nasledovným trikom: f ( x)
g
( ) ( ) ( ) x f x g x
ln
= e ,
a toto už je riešiteľné pomocou tabuľkových, pretože to je exponenciála na súčin.
V predošlom prípade je to
x
e
x x ln x
= .
L’Hospitalovo pravidlo
0 ∞ 0 ∞
Limity typu , , , . V lekcii 5 sa preberali limity a niekoľko pravidiel
0 0 ∞ ∞
na ich výpočet. Často sa stáva, že limitu nevieme vypočítať, pretože keby sme chceli
limitu priamo dosadiť do predpisu, v čitateli aj v menovateli vzniká nula alebo
nekonečno, ale čitateľ a menovateľ sa nedajú vykrátiť. Tieto limity sa dajú vypočítať
pomocou L’Hospitalovo pravidla. Zavádza ho nasledovná veta:
Veta. Nech funkcie f (x)
a g (x)
majú derivácie f '( x)
a '( x)
g v okolí bodu x 0
(v bode x 0 môžu a nemusia existovať). Nech g '( x0
) ≠ 0 . Potom
f ( x)
f '(
x)
lim = lim . Tento vzorec sa volá L’Hospitalovo pravidlo.
x→ x0
g(
x)
x→
x0
g'
( x)