B - Prírodovedecká fakulta - Univerzita Komenského

Učebné texty z matematiky pre 1. ročník geológie
76
Príklad 44. Aký je uhol medzi osou x a dotyčnicou ku grafu v bode x 0 , ak je
v tomto bode derivácia:
a. 1
b. -1
Riešenie.
c. 0
d. 3
a. α = arctan y ' = arctan()
1 = π / 4 , funkcia rastie.
b. α arctan ' = arctan(
−1)
= −π
/ 4
e. ∞
f. − ∞
= y , uhol je teda π / 4 , ale funkcia klesá.
c. = arctan y'
= arctan(
0)
= 0
α , funkcia je konštanta, graf je rovnobežný s osou x.
α arctan = π
d. = y '=
arctan(
3)
/ 3
e. α arctan ' = arctan(
∞)
= π / 2
= y , derivácia je nevlastná, graf je rovnobežný s osou y.
f. α arctan ' = arctan(
− ∞)
= −π
/ 2
= y , ale uhol je teda π / 2 , derivácia je nevlastná,
graf je rovnobežný s osou y.
Príklad 45. Ak je derivácia –1 a nám vyjde α = −π
/ 4,
prečo berieme za uhol
medzi osou x a dotyčnicou rovný α = π / 4 ?
Riešenie. Pri zápornej derivácii je funkcia klesajúca, preto nám uhol medzi osou
x a dotyčnicou vychádza záporný. Ale to je to isté, ako keby sme brali kladnú hodnotu,
len proti smeru hodinových ručičiek (Obr. 44). Okrem toho dohoda je obvykle taká, že
sa berie absolútna hodnota.
f(x)
Obr. 44. Uhol medzi osou x a dotyčnicou vychádza záporný, ale berieme ho za kladný,
meraný proti smeru hodinových ručičiek.
α
x0