B - Prírodovedecká fakulta - Univerzita Komenského

Učebné texty z matematiky pre 1. ročník geológie
58
Lekcia 5 - Limita funkcie 1
Nové pojmy
a. Limita, vlastná a nevlastná limita, limita sprava a zľava
b. Funkcia spojitá v bode a na množine, bod nespojitosti prvého a druhého druhu
Limita
Definícia limity. Funkcia f má v bode a limitu b práve vtedy, keď pre každé
číslo ε > 0 existuje také číslo δ > 0 , že pre každé x ≠ a z definičného oboru platí, že
ak x − a < δ , tak f ( x)
− b < ε . Pomocou kvantifikátorov je definícia zapísaná
nasledovne:
lim f ( x)
= b ⇔ ∀ε
> 0∃δ
> 0,
x ≠ a : x − a < δ ⇒ f ( x)
− b < ε .
x→a
Poznámka. Málokto definíciu limity pochopí hlbšie. Obyčajne sa limita chápe
len intuitívne ako nejaká hodnota, ku ktorej sa funkcia blíži a môže, ale aj nemusí v nej
skončiť. Je možné si limitu predstaviť aj ako bod, ku ktorému sa graf dostane
nekonečne blízko a môže, ale nemusí sa až do tohto bodu dostať.
Vlastná a nevlastná limita. Ak je limita reálne číslo, je to vlastná limita.
Niekedy sa stane, že limita vychádza nekonečno (graf neobmedzene rastie alebo klesá).
Vtedy je to nevlastná limita. Týmto sa ale možnosti nevyčerpali. Existujú aj prípady,
keď limita neexistuje. Napríklad vtedy, keď sa zdá, že funkcia má dve limity (napríklad
keď osciluje). Limita ale môže byť iba jedna, preto v takomto prípade funkcia limitu
nemá.
Limita sprava a zľava. Limita sprava a zľava sú dva nové pojmy, ktoré je
možné veľmi presne zadefinovať pomocou definície limity. Nebudeme to robiť. Limitu
zľava a sprava je najlepšie pochopiť intuitívne. Limita hovorila o tom, ako sa funkcia
správa v istom okolí vyšetrovaného bodu. Limita sprava, prípadne zľava hovorí o tom,
ako sa funkcia správa v istom pravom, prípadne ľavom okolí vyšetrovaného bodu. Je
vhodné ju teda zaviesť pre prípady, kedy funkcia „začína“ od istej hodnoty, ako
napríklad x začína od nuly.