B - Prírodovedecká fakulta - Univerzita Komenského

Lekcia 9 – Priebeh funkcií
Nulové body. Nájdeme ich tak, že funkciu položíme rovnú nule. Teda
1
0 2 = + x . Z toho vyplýva, že x = −1.
x
Stacionárne body. Nájdeme ich tak, že prvú deriváciu položíme rovnú nule:
'
⎛ 1 ⎞ 2
3 Teda y '= ⎜ x + = 1 − = 0
2 ⎟
. Z toho vyplýva, že x = 2 .
3
⎝ x ⎠ x
Intervaly monotónnosti. Stacionárny bod a bod nespojitosti rozdelili záujmovú
oblasť na tri intervaly: ( ∞;
0)
3 − , ( ; 2
0 a ( 2;
∞)
3 . Intervaly rastu a klesania zistíme tak,
že dosadíme akékoľvek číslo z jednotlivých intervalov a zistíme, či je v nich prvá
derivácia kladná alebo záporná. Zvolíme, napríklad, hodnoty { 1;
1;
2}
− . Dosadíme
a máme y ' ( −1)
= 3 > 0 , y ' ( 1)
= −1
< 0 , y ' ( 2)
= 0,
75 > 0 . Preto na intervale ( − ∞;
0)
je
3 funkcia rastúca, na intervale ( 0 ; 2)
klesajúca a na intervale ( 2;
∞)
3 rastúca.
Intervaly konvexnosti a konkávnosti. Vypočítame druhú deriváciu:
''
'
⎛ 1 ⎞ ⎛ 2 ⎞ 6
y ''
= ⎜ x + 1 =
2 ⎟ = ⎜ − 3 ⎟ 4
⎝ x ⎠ ⎝ x ⎠ x
. Druhá derivácia je kladná na celom definičnom
∞;
0
0 ; ∞ .
obore, preto je funkcia rýdzo konvexná na intervale ( − ) a na intervale ( )
Poznámka. Funkcia nie je rýdzo konvexná na definičnom obore, pretože je tu
bod nespojitosti druhého druhu v bode x = 0 .
Lokálne a globálne extrémy. Z vyšetrenia stacionárnych bodov vyplýva, že prvá
derivácia je nulová pre hodnotu
3 x = 2 . Z vyšetrenia konvexnosti a konkávnosti už
máme aj druhú deriváciu. Druhá derivácia v stacionárnom bode je
''
3 6
−1
/ 3
( 2)
= = 3.
2 > 0
3 y , preto v bode = 2
3
16
x je ostré lokálne minimum.
Inflexné body. Z vyšetrenia konvexnosti a konkávnosti vyplýva, že druhá
6
y ''
= nie je nulová nikde, preto funkcia inflexný bod nemá.
x
derivácia 4
Asymptoty. Asymptotu bez smernice zistíme pomocou jednosmerných limít v
bode nespojitosti:
3 2
⎛ 1 ⎞ ⎛ x + 1⎞ ⎛3x ⎞
x + ⎜ 2 ⎟
+ ⎜ 2 ⎟ + ⎜ ⎟
x→0 x→0 x→0
lim + = lim = lim =∞
⎝ x ⎠ ⎝ x ⎠ ⎝ 2x
⎠
⎛ 1 ⎞
⎜ + ⎟=∞.
⎝ x ⎠
a lim x − 2
x→0
Limity sú nevlastné, preto funkcia má asymptotu bez smernice, ktorej rovnica je x = 0 .
109