B - Prírodovedecká fakulta - Univerzita Komenského

More documents

Recommendations

Info

Učebné texty z matematiky pre 1. ročník geológie Poznámka. Integrovanie metódou per partes je potrebné nacvičiť. Len málokto je schopný na základe prednášky pochopiť princíp a vedieť integrovať bez toho, aby prepočítal niekoľko príkladov. Často sa stáva, že človek nesprávne zvolí funkcie u a v a vznikne integrál, ktorý ani tak nevie riešiť. Vtedy je dobré skúsiť funkcie u a v vymeniť. Ak ani toto nepomôže, obvykle treba skúsiť inú metódu. 120 Integrovanie substitučnou metódou Veta. Nech F (x) je neurčitý integrál funkcie f (x) na intervale ( a; b) . Nech funkcia ϕ (t) má na intervale ( β ) Potom x) c = f ( x) dx = f ( ( t) ) ∫ ∫ α; deriváciu '( t) F ( + ϕ ϕ' ( t) dt . ϕ . Nech ϕ ( t ) ∈( a; b) pre ∈( α; β ) ∀t . Poznámka. Táto veta sa pri integrovaní používa asi najviac, preto je potrebné, aby si ju každý osvojil. Funguje nasledovne: Vidím integrál, ktorý neviem vypočítať. Skúsim teda z funkcie vybrať takú časť, ktorú viem zderivovať (to je tá ľahšia časť). Treba však vybrať tak, aby sa integrál zjednodušil (to je tá ťažšia časť). V praxi sa postupuje tak, že zvolíme substitúciu, vypočítame, na akú funkciu prejde f (x) , na akú prejde dx a dosadíme. Poznámka. Veta o integrovaní substitučnou metódou je odvodená z vety o derivovaní zloženej funkcie. Príklad. Zintegruj funkciu f ( x) = tan x . Riešenie. Nie je to tabuľkový integrál, preto použijem substitučnú metódu. Vo funkcii tan x treba nájsť takú funkciu, ktorú vieme zderivovať. Vieme, že sin x tan x = . Zderivovať vieme aj čitateľa, aj menovateľa. Zvolíme menovateľa. cos x Substitúcia je teda cos x = t . Ešte treba vypočítať, na čo sa zmení dx . Zderivujeme obe dt strany substitúcie a máme ( cos x ) ' = − sin xdx = dt . Z toho dx = − . Dosadíme sin x substitúciu aj deriváciu do zadania a vznikne sin x sin x ⎛ − dt ⎞ dt ∫tan xdx = ∫ dx = ∫ ⎜ ⎟ = −∫ = − ln t + c . Do výsledku treba ešte cos x t ⎝ sin x ⎠ t dosadiť naspäť substitúciu, aby bol výsledok v tej premennej, v ktorej bolo zadanie: − ln t + c = − ln cos x + c .
Lekcia 10 – Neurčitý integrál Poznámka. V tomto príklade sme mali šťastie, pretože sa vhodnou substitúciou vykrátili funkcie sin x . Poznámka. Niekedy sa stane, že zvolíme substitúciu a integrál prejde na integrál, ktorý znova neviem riešiť. Vtedy môžem použiť ešte jednu substitúciu a takýchto substitúcií môže byť mnoho. Často sa ale stáva, že to nevedie nikam. Preto treba hneď na začiatku odhadnúť, akú substitúciu použiť. Tento odhad sa získa obvykle cvikom. Preto integrovať substitučnou metódou odporúčam takto: Pozriem na funkciu a rozdelím si ju na časti. Prezriem si tieto časti a hľadám, či náhodou nie je jedna časť deriváciou druhej. Ak mám také šťastie, okamžite túto časť položím rovnú substitúcii, pretože dx mi zlikviduje práve tú časť, ktorá je deriváciou a integrál sa značne zjednoduší. Príklad. Zintegruj funkciu ln x f ( x) = . x Riešenie. Nie je to tabuľkový integrál, preto použijem substitučnú metódu. Vo 1 1 funkcii vidím funkciu ln x a funkciu . Náhodou ( ln x) '= , preto neváham x x a okamžite zavádzam substitúciu ln x = t . Zderivujem obe strany substitúcie a mám 1 dx = dt x ∫ . Z toho dx = xdt . Dosadím do zadania a mám 2 2 ln x t t ln x dx = ∫ xdt = ∫tdt = + c = + c . x x 2 2 121
Page 1:
Univerzita Komenského v Bratislave
Page 4 and 5:
Učebné texty z matematiky pre 1.
Page 6 and 7:
Page 8 and 9:
Page 10 and 11:
Page 12 and 13:
Page 14 and 15:
Page 16 and 17:
Page 18 and 19:
Page 20 and 21:
Page 22 and 23:
Page 24 and 25:
Page 26 and 27:
Page 28 and 29:
Page 30 and 31:
Page 32 and 33:
Page 34 and 35:
Page 36 and 37:
Page 38 and 39:
Page 40 and 41:
Page 42 and 43:
Page 44 and 45:
Page 46 and 47:
Page 48 and 49:
Page 50 and 51:
Page 52 and 53:
Page 54 and 55:
Page 56 and 57:
Page 58 and 59:
Page 60 and 61:
Page 62 and 63:
Page 64 and 65:
Page 66 and 67:
Page 68 and 69:
Page 70 and 71: Učebné texty z matematiky pre 1.
Page 136: Učebné texty z matematiky pre 1.
show all

B - Prírodovedecká fakulta - Univerzita Komenského

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?