B - Prírodovedecká fakulta - Univerzita Komenského

Učebné texty z matematiky pre 1. ročník geológie
82
Ak položíme a = 0, tak potom takýto rad nazývame ako tzv. MacLaurinov rad:
f(x) ≈ f(0) +
( ) '0 f
1!
x +
f ′′ ( 0)
2!
x 2 +
f ′′′ ( 0)
3!
x 3 + … .
Taylorov (MacLaurinov) rad sa využíva na aproximovanie rôznych funkcií –
ako elementárnych, tak aj zložitých.
Postup pri vyjadrení funkcie do Taylorovho (MacLaurinovho) radu je
nasledujúci: najprv vyjadríme potrebné vyššie derivácie aproximovanej funkcie, potom
do nich dosadíme daný bod a a napokon ich použijeme pri dosadení do vzťahu pre
Taylorov (MacLaurinov) rad. Ako príklad si uveďme MacLaurinov rad pre funkciu
arctan(x):
Najprv si určíme derivácie funkcie arctan(x): arctan‘(x) =1/(1+x 2 ), arctan‘‘(x)
=2x/(1+x 2 ) 2 , arctan‘‘(x) =[−2(1+x 2 ) 2 +8x 2 (1+x 2 )]/(1+x 2 ) 4 . Potom dosadíme za x = 0:
f(0) = 0, f‘(0) = 1, f‘‘(0) = 0, f‘‘‘(0) = −2. Potom po dosadení do vzťahu pre
MacLaurinov rozvoj dostaneme:
arctan(x) ≈ 0 + 1
1!
0
x +
2! x2 + 2 − 3
x + … = x −
3!
3 5 7
x x x
+ − ….
Ďalšie členy x 5 /5 a –x 7 /7 sme “vydedukovali” z charakteru opakovania sa
známych členov.
V opise geologických a geofyzikálnych javov sa Taylorov (MacLaurinov) rad
používa pri tzv. linearizácii problémov: z celého radu sa vezme iba jeho konštantná
a lineárna časť (vyššie sa zanedbávajú) a uvedený problém sa ďalej rieši v takejto
zjednodušenej forme. Tento spôsob pomáha pri riešení zložitých nelineárnych javov,
netreba však zabúdať na to, že ide iba o približné riešenie.
Uveďme si niekoľko príkladov MacLaurinovho radu:
3 5 7
x x x
sin(x) ≈ x − + − + … ,
3! 5! 7!
1 3 2 5 17 7
tan(x) ≈ x + x + x + x + … ,
3 15 315
3
5
7