B - Prírodovedecká fakulta - Univerzita Komenského

Učebné texty z matematiky pre 1. ročník geológie
26
Pomocou jednotkovej kružnice a dĺžky − 3 / 3 na osi x vidíme, že riešenie je uhol
2π
5π
ϕ = , ako aj uhol ϕ = . Ani toto ešte nie je koniec, pretože kotangens má
3
3
periódu π, teda k výsledku je možné pridať aj ľubovoľný počet „polotáčiek“ o π.
2π
5π
Úplný výsledok je: ϕ = + kπ
a ϕ = + kπ , k ∈ Z . Avšak tieto dva zápisy
3
3
2π
predstavujú to isté, preto stačí ϕ = + kπ , k ∈ Z .
3
Príklad 16. Vyrieš nasledovné cyklometrické rovnice:
a. 2 arcsin(
x ) + 30°
= 210°
b. 20 arccos(
2x)
+ π = π / 2 − 3arccos(
2x)
Riešenie.
c. 50° = 10°
− arctan( 0,
01x)
d. π = π − arc cot g(
4x)
a. Od oboch strán rovnice odčítame 30°, dostaneme arcsin(
) = 180°
2 x , predelíme 2
a máme arcsin( x ) = 90°
. Aplikujeme inverznú funkciu a máme výsledok
x = sin 90°
= 1.
Rovnako vhodná je otázka: Sínus 90° je koľko? Tu sa nemusíme
obávať ďalších riešení, pretože cyklometrické funkcie nie sú periodické.
b. Kvôli cviku sa v tomto príklade nebudú používať stupne, ale radiány. π prenesieme
na pravú stranu (samozrejme s opačným znamienkom) a 3arccos(
2x)
(tiež s opačným) a dostaneme ( ) ( ) π
pravej strane sa dajú členy sčítať: 23arccos( 2 ) = −π
/ 2
arccos( 2 ) = −π
/ 46
a výsledok je = 0, 5cos(
− π / 46)
− na ľavú
20 arccos 2x
+ 3arccos
2x
= π / 2 − . Na ľavej aj
x . Predelíme 23, dostaneme
x a aplikujeme inverznú funkciu: 2x = cos(
− π / 46)
. Predelíme 2
x . Ak by bolo potrebné, vyčíslime na kalkulačke.
c. Od oboch strán rovnice odčítame 10°, dostaneme 40° = − arctan( 0,
01x)
, obe strany
vynásobíme -1 a máme − 40° = arctan( 0,
01x)
. Aplikujeme inverznú funkciu
a máme , 01 = tan(
− 40°
)
0 x . Obe strany rovnice predelíme 0,01 a výsledok je
( − ° )
x = 100 tan 40 . Ak by bolo potrebné, vyčíslime na kalkulačke.