B - Prírodovedecká fakulta - Univerzita Komenského

Učebné texty z matematiky pre 1. ročník geológie
Poznámka. Keďže nepárna funkcia je symetrická podľa stredu a chceme ju
integrovať na symetrickom intervale, integrál pre záporné hodnoty je rovnaký, ako
integrál pre kladné hodnoty, ale s opačným znamienkom, preto sa zrušia.
128
f(x)
y
x
Obr. 59. Vľavo: Integrovanie párnej funkcie na symetrickom intervale pomocou
dvojnásobku jednej časti. Vpravo: Integrovanie párnej funkcie na symetrickom intervale je nulové.
b
Určitý integrál súčtu (rozdielu). ∫ ( f ( x)
± g(
x)
) dx = ∫ f ( x)
dx ± ∫ g(
x)
dx .
a
Poznámka. Hovorí o tom, že určitý integrál súčtu (rozdielu) je súčet (rozdiel)
určitých integrálov. Nanešťastie taká veta, aká platila pre deriváciu súčinu a podielu, pre
b
integrály neplatí. Nanajvýš platí ∫ cf ( x)
dx = c∫
f ( x)
dx , kde c je konštanta.
b
a
b
a
y
f(x)
Integrovanie metódou per partes
Veta. ∫ f ' ( x)
g(
x)
dx = [ f ( x)
g(
x)
] − ∫ f ( x)
g'
( x)
dx .
a
b
a
Poznámka. Veta vyzerá rovnako ako pri neurčitých integráloch. Rozdiel je
v tom, že sa primitívne funkcie vyčísľujú v zadaných hraniciach.
funkcia (t)
Integrovanie substitučnou metódou
b
a
Veta. Nech F (x)
je neurčitý integrál funkcie f (x)
na intervale ( a; b)
. Nech
ϕ má na intervale ( β )
a nech ϕ (α ) = a , (β ) = b
α; deriváciu '( t)
b
∫
ϕ . Potom f x)
dx = f ( ( t)
)
a
b
a
ϕ . Nech ϕ ( t ) ∈(
a;
b)
pre ∀t ∈(
α; β )
β
∫
( ϕ ϕ'
( t)
dt .
Poznámka. Veta vyzerá rovnako ako pri neurčitých integráloch. Rozdiel je
v tom, že sa primitívne funkcie vyčísľujú v zadaných hraniciach.
α
x
b
a