B - Prírodovedecká fakulta - Univerzita Komenského

Učebné texty z matematiky pre 1. ročník geológie
Poznámka. Tento príklad považujem za ťažší, pretože sa neobvykle zisťoval
obor hodnôt, hodnoty, v ktorých sú derivácie nulové, nie sú „pekné“ čísla a bolo treba
riešiť rovnicu štvrtého stupňa.
106
Príklad 58. Vyšetri priebeh funkcií y = sin x a y = cos x .
Riešenie (Obr. 55). Postupujeme podľa schémy.
1
Úvod. Preto je zaujímavé riešiť obe funkcie naraz, pretože sú veľmi podobné.
Definičný obor. D y ) = ℜ , D y ) = ℜ .
( 1
( 2
Obor hodnôt. H y ) = −1;
1 , H y ) = −1;
1 .
( 1
( 2
Body nespojitosti. Bod nespojitosti je tam, kde funkcia nie je definovaná. Preto
B = {} pre obe funkcie.
N
Nulové body. Nájdeme ich tak, že funkciu položíme rovnú nule. Teda
⎛ 1 ⎞
y 1 = sin x = 0 , preto x = kπ
, k ∈ Z . Podobne y 2 = cos x = 0 , preto x = ⎜k
+ ⎟π
,
⎝ 2 ⎠
k ∈ Z . Jasne teda vidno, že nulové body týchto dvoch funkcií sa pravidelne striedajú.
Stacionárne body. Nájdeme ich tak, že prvú deriváciu položíme rovnú nule:
⎛ 1 ⎞
y 1
, preto x = ⎜k
+ ⎟π
, k ∈ Z . Podobne
⎝ 2 ⎠
Teda ' = ( sin x)
' = cos x = 0
( cos x)
' = − sin = 0
y ' = x , preto x = kπ
, k ∈ Z . Je zaujímavé, že nulové body jednej
2
funkcie sú akurát stacionárne body druhej funkcie.
Intervaly monotónnosti. Stacionárne body rozdelili záujmové oblasti oboch
funkcií na nekonečne veľa intervalov. Pre funkciu y 1 sa dajú zapísať takto:
⎛⎛
1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎞
⎜⎜
k − ⎟π
; ⎜k
+ ⎟π
⎟ , Z
⎝⎝
2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎠
k ∈ . Pre funkciu 2
2
y sa dajú zapísať takto: ( k π; ( k + 1)
π ) ,
k ∈ Z . Intervaly rastu a klesania zistíme tak, že dosadíme akékoľvek číslo
z jednotlivých intervalov a zistíme, či je v nich prvá derivácia kladná alebo záporná.
Priam sa ponúka dosadiť do derivácie akurát nulové body. Dosadíme a máme
( ) ( ) ( ) k
k = cos kπ
= −
y ' π 1 . Teda na intervaloch pre párne k funkcia sin x rastie a na
1
⎛ π π ⎞
intervaloch pre nepárne k klesá. Intervaly rastu sú ⎜(
4k
−1)
; ( 4k
+ 1)
⎟ a intervaly
⎝ 2 2 ⎠