B - Prírodovedecká fakulta - Univerzita Komenského

Lekcia 8 – Derivácie elementárnych funkcií
Poznámka a časté chyby. Najčastejšou chybou pri počítaní derivácií pomocou
tabuľkových derivácií je použitie nesprávnej prípustnej množiny. Napríklad pri
logaritme je jasné, že sa dá derivovať iba pre kladné reálne čísla, aj keď derivovaná
funkcia je definovaná aj pre záporné čísla. Druhá chyba je to, že si ľudia zvyčajne
pamätajú, že derivácia sínusu je kosínus, a tak si mylne myslia, že derivácia arkus
sínusu je arkus kosínus. Tretia chyba býva tá, že si ľudia zvyčajne pamätajú, že
derivácia kosínusu je mínus sínus, ale mylne si myslia, že derivácia kosínusu
hyperbolického je mínus sínus hyperbolický.
Pravidlá pre počítanie derivácií
Poznámka. V nasledovných vzorcoch sa bude kvôli prehľadnosti vynechávať
argument x, teda f '( x)
= f ' a g '( x)
= g'
.
Derivácia súčtu (rozdielu). Ak existuje f ' a g ' , potom derivácia súčtu
(rozdielu) je ( f g)
' = f '±
g'
± .
Derivácia súčinu. Ak existuje f ' a g ' , potom derivácia súčinu je
( fg ) ' f ' g + fg'
= .
Derivácia podielu. Ak existuje f ' a g ' a g '≠ 0 , potom derivácia podielu je
'
⎛ f ⎞ f ' g − fg'
⎜ = 2
g
⎟
.
⎝ ⎠ g
Poznámka a časté chyby. Často sa stáva, že sa do vzorca pre deriváciu podielu
do menovateľa vloží g ' namiesto
2
g . Treba dať pozor aj na to, že '≠ 0
g .
Derivácia zloženej funkcie. Nech y = f (u)
a tento argument je ešte funkciou
u = g(x)
, čiže y = f o g = f ( g(
x))
. Ak existuje f '( u)
a g '( x)
, potom derivácia
zloženej funkcie je y ' ( f g)
' = f '(
u)
g'
( x)
= o .
Poznámka. Vzorec pre deriváciu zloženej funkcie vyzerá na prvý pohľad
zložito, ťažkopádne. Našťastie je to len zdanie, pretože si stačí uvedomiť, že derivácia
zloženej funkcie je derivácia vonkajšej funkcie krát derivácia vnútornej funkcie. Ak by
bola funkcia zložená z viacerých vnorených funkcií, jej derivácia je derivácia vonkajšej
funkcie krát derivácia vnútornejšej funkcie, krát derivácia vnútornejšej funkcie a tak
ďalej až krát derivácia najvnútornejšej funkcie.
79