B - Prírodovedecká fakulta - Univerzita Komenského

Lekcia 9 – Priebeh funkcií
Inflexné body. Z vyšetrenia konvexnosti a konkávnosti vyplýva, že druhá
derivácia je nulová iba v bodoch, ktorých približné hodnoty sú
{ 1.510223959;-0.468213192;0.468213192;1.510223959}
− . Navyše sa v týchto bodoch
mení funkcia z konkávnej na konvexnú a opačne, preto v týchto bodoch sú inflexné
body.
Asymptoty. Asymptoty bez smernice nie sú, pretože funkcia je spojitá pre ∀ℜ.
Smernicu a kvocient pre asymptoty so smernicou (rovnica y = kx + q ) zistíme pomocou
limít:
f( x) ⎛ x ⎞ ⎛ 1 ⎞
k1,2
= lim = lim 2 lim 2 0
x→±∞ x x x
x
x →±∞⎜ ⎟= →±∞⎜
⎟=
.
⎝e ⎠ ⎝2xe ⎠
q1,2 = lim ( f( x) − k1,2 x)
= 0 .
x→±∞
Existuje jedna asymptota so smernicou, ktorej rovnica je y = 0.
Poznámka. Pri výpočte smernice som využil L’Hospitalovo pravidlo jedenkrát,
pri výpočte parametra q dvakrát.
Poznámka 1. V bode x = 0 je dokonca ostré globálne minimum. Že je globálne,
vieme z toho, že na obe strany od tohto bodu funkcia na obe strany rastie a po
dosiahnutí maxím už klesá len asymptoticky k nule.
Poznámka 2. Teraz sa už dá zistiť aj obor hodnôt. Z predpisu vieme, že funkcia
je nezáporná. Z asymptoty sa zistilo, že sa funkcia blíži nekonečne blízko k nule, ale ju
nedosiahne. Z vyšetrenia extrémov sa zistilo, že existuje globálne maximum, v ktorom
hodnota funkcie je y ( 1)
≅ 0.367879441
a existuje aj globálne minimum, v ktorom
hodnota je y ( 0)
= 0 . Preto obor hodnôt je H ( y)
= 0;
0.367879441
.
Záver. Na základe predošlých výsledkov je možné načrtnúť graf:
Obr. 54. Graf funkcie
y
0.4
0.2
x
0
-3 -2 -1 0 1 2 3
2 − x
= x e .
2
-0.2
y
105