B - Prírodovedecká fakulta - Univerzita Komenského

1
1 − x
1
1 − x
2
2
arctgh x + c =
=
1 1 + x
ln
2 1 − x
+ c
arccotgh x + c =
=
1 x + 1
ln + c
2 x −1
sinh x cosh x + c
ℜ
cosh x sinh x + c
ℜ
1
2
sinh
1
2
cosh
x
x
Tab. 2. Integrály elementárnych funkcií.
Lekcia 10 – Neurčitý integrál
x < 1
x
> 1
− cotgh x
ℜ − {} 0
tanh x
ℜ
Poznámka a časté chyby. Takmer každý má problém s tým, že keď derivácia
sínusu je kosínus a derivácia kosínusu je mínus sínus, že by to tak malo byť aj pri
integrovaní. Ale pozor, znamienka sa tu otočili. Keď už tento fakt človek prijme
a osvojí si ho, začne si často myslieť, že aj pri integrovaní hyperbolických funkcií by sa
nejaké mínusy mali objaviť. Ale pozor, tu sa žiadne nemenia. Niekedy sa stáva, že pri
integrovaní funkcie α
x sa integruje aj vtedy, ak je α = −1.
Toto by sa stalo, keby sme
použili vzorec nasilu:
α ≠ −1.
0
1 x
x dx =
0
∫ −
a toto je čo? Chyba je v tom, že vzorec platí len pre
Poznámka. Derivácia elementárnej funkcie je znova elementárna funkcia. Je to
jednoduchý dôsledok, ale dokazuje sa ťažko. Nanešťastie pri integráloch to tak nie je.
Niektoré elementárne funkcie po zintegrovaní už nie sú elementárne.
∀a , b : a ≠ 0 .
1
Veta. Ak ∫ f ( x)
dx = F(
x)
+ c , tak ∫ f ( ax + b)
dx = F(
ax + b)
+ c pre
a
Poznámka. Na čo je táto veta dobrá? Spomenieme si, že derivácia zloženej
funkcie je derivácia vonkajšej funkcie krát derivácia vnútornej funkcie. Natíska sa
myšlienka, že by sa takto aj integrovalo. Pozor! V tom vesmíre, v ktorom žijeme, to
117