B - Prírodovedecká fakulta - Univerzita Komenského

Učebné texty z matematiky pre 1. ročník geológie
Poznámka. Všetko sú to elementárne funkcie, len sú preškálované v smere osí x
a y a sú posunuté pozdĺž osi x. S pomocou tabuľkových integrálov by takéto príklady
každý mal riešiť metódou „okamžitého napísania výsledku“.
a. ln x
b. 2
124
ln x
x
c. x sin x
Príklad 63. Per partes. Vypočítajte neurčité integrály nasledovných funkcií.
Riešenie.
u'
= 1 v = ln x
a. ∫ ln xdx = ∫1.
ln xdx =
1 = x ln x − dx = x x − x + c = x(
x − ) + c
u = x v = ∫ ln
ln 1
'
x
u'= 1
v= lnx
x
dx =
−1
u =
x
1
v'=
x
=
x
+
x
=
x
− + c = −
x x
ln x + 1 + c
ln x 2
x
−ln x dx −ln
x 1 1
2 2
∫ ∫
b. ( )
u'
= sin x v = x
c. ∫ x sin xdx
= = −x
cos x + x = −x
x + x + c
u = − x v = ∫ cos cos sin
' cos ' 1
a. cos x. sin x
b.
Príklad 64. Substitúcia. Vypočítajte neurčité integrály nasledovných funkcií.
arcsin hx
2
1 + x
c. cos x. sin x
11
d.
tan x
x
2
cos
3 3
h. sin
x.
cos x
e.
arcsin
6
1 − x
2
x
f. sinh x. cosh x
5
arctan
111
g. 2
1+
x
x