B - Prírodovedecká fakulta - Univerzita Komenského

More documents

Recommendations

Info

Učebné texty z matematiky pre 1. ročník geológie Smernica a kvocient asymptoty so smernicou (rovnica y = kx + q ) zistíme pomocou f( x) ⎛ 1 ⎞ limít: k1,2 = lim = lim ⎜1+ 1 x→±∞ x 3 ⎟= x →±∞⎝ x ⎠ Rovnica tejto asymptoty je y = x . 110 ⎛ 1 ⎞ = lim ( ) − = lim ⎜ ⎟= 0 . ⎝ x ⎠ , q ( f x k x) 1,2 1,2 x→±∞ x→±∞ 2 Poznámka. Pri počítaní asymptoty bez smernice som využil L’Hospitalovo pravidlo. Poznámka 1. Až z grafu sa dá zistiť, že oborom hodnôt danej funkcie je H(y) = R. Záver. Na základe predošlých výsledkov je možné načrtnúť graf: 1 Obr. 56. Graf funkcie y = x + . 2 x 6 4 2 0 x -6 -4 -2 0 2 4 6 -2 Príklad 60. Vyšetri priebeh funkcie ln( ) 2 y = x . Riešenie (Obr. 57). Postupujeme podľa schémy. -4 -6 y Definičný obor. Definičný obor je všetko, čo má zmysel dosadiť za x. Teda {} 0 D ( y) = ℜ − . Obor hodnôt. Nájdeme ho tak, že nájdeme definičný obor inverznej funkcie. Inverzná funkcia je y y / 2 = ± e = e , preto = ℜ x ± H (y) (z predpisu vidno, že toto nie je funkcia, pretože pre jedno x sú definované dve hodnoty y, ale definičný obor môžeme určiť). Body nespojitosti. Bod nespojitosti je tam, kde funkcia nie je definovaná. Preto {} 0 B = . N
ln( ) 0 2 = Lekcia 9 – Priebeh funkcií Nulové body. Nájdeme ich tak, že funkciu položíme rovnú nule. Teda 2 0 x , teda x = e = 1, preto nulové body sú x = ± 1. Stacionárne body. Prvú deriváciu položíme rovnú nule: 2 ' 1 2 2 ( ln( x ) = ( x ) ' = = 0 y ' = 2 x x . Táto funkcia nie je rovná nule nikde, preto stacionárne body funkcia nemá (jediný podozrivý bod je x = 0 , ale o tom už vieme, že je to bod nespojitosti). Intervaly monotónnosti. Bod nespojitosti rozdelil záujmovú oblasť na dva intervaly: ( − ∞; 0) a ( ; ∞) 0 . Intervaly rastu a klesania zistíme tak, že dosadíme akékoľvek číslo z jednotlivých intervalov a zistíme, či je v nich prvá derivácia kladná alebo záporná. Zvolíme, napríklad, hodnoty { 1; 1} a y ' ( 1) = 2 > 0 . Preto na intervale ( ∞; 0) rastúca. − . Dosadíme a máme y ' ( −1) = −2 < 0 − je funkcia klesajúca a na intervale ( ; ∞) 0 je Intervaly konvexnosti a konkávnosti. Vypočítame druhú deriváciu: 2 '' ' ⎛2⎞ 2 y'' = ( ln ( x ) ) = ⎜ ⎟ =− . Keďže je v menovateli druhá mocnina, ktorá je vždy 2 ⎝ x ⎠ x nezáporná, celá funkcia je vždy záporná. Druhá derivácia ale nie je definovaná pre bod x = 0 , preto je funkcia rýdzo konkávna na intervale ( − ∞; 0) aj na intervale ( 0 ; ∞) . Lokálne a globálne extrémy. Z vyšetrenia stacionárnych bodov vyplýva, že prvá derivácia nie je nulová nikde. Preto funkcia nemá extrémy (jediný podozrivý bod je x = 0 , ale o tom už vieme, že je to bod nespojitosti). Inflexné body. Z vyšetrenia konvexnosti a konkávnosti vyplýva, že funkcia sa nikde nemení z konvexnej na konkávnu alebo naopak, preto funkcia nemá inflexný bod. Asymptoty. Asymptotu bez smernice zistíme pomocou jednostranných limít v ( ) 2 bode nespojitosti: lim ln ( x ) + x→0 ( ) 2 = −∞ a lim ln ( x ) − x→0 = −∞ . Limity sú nevlastné, preto funkcia má asymptotu bez smernice, ktorej rovnica je x = 0 . Smernicu a kvocient asymptoty so smernicou (rovnica y = kx + q ) zistíme pomocou limít: k 2 ( x ) f( x) ⎛ln ⎞ ⎛ 2 ⎞ = lim = lim ⎜ ⎟= lim ⎜ ⎟= 0 , x ⎜ x ⎟ ⎝ x ⎝ ⎠ ⎠ 1,2 x→±∞ x→±∞ x→±∞ 2 111
Page 1:
Univerzita Komenského v Bratislave
Page 4 and 5:
Učebné texty z matematiky pre 1.
Page 6 and 7:
Page 8 and 9:
Page 10 and 11:
Page 12 and 13:
Page 14 and 15:
Page 16 and 17:
Page 18 and 19:
Page 20 and 21:
Page 22 and 23:
Page 24 and 25:
Page 26 and 27:
Page 28 and 29:
Page 30 and 31:
Page 32 and 33:
Page 34 and 35:
Page 36 and 37:
Page 38 and 39:
Page 40 and 41:
Page 42 and 43:
Page 44 and 45:
Page 46 and 47:
Page 48 and 49:
Page 50 and 51:
Page 52 and 53:
Page 54 and 55:
Page 56 and 57:
Page 58 and 59:
Page 60 and 61: Učebné texty z matematiky pre 1.
Page 136: Učebné texty z matematiky pre 1.
show all

B - Prírodovedecká fakulta - Univerzita Komenského

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?