B - Prírodovedecká fakulta - Univerzita Komenského

Lekcia 9 – Priebeh funkcií
Intervaly monotónnosti. Bod nespojitosti a stacionárny bod rozdelili záujmovú
oblasť na tri intervaly: ( − ∞;
0)
, ( 0 ; 2)
a ( )
2;∞ . Intervaly rastu a klesania zistíme tak, že
dosadíme akékoľvek číslo z jednotlivých intervalov a zistíme, či je v nich prvá derivácia
kladná alebo záporná. Zvolíme, napríklad, hodnoty { 1;
1;
3}
− . Dosadíme a máme
−1
y '(
−1)
= 3e
≅ 1.103638 > 0 , y ' ( 1)
= −e
≅ -2.71828 < 0 a y ' ( 3)
= 0.743909 > 0.
Preto
na intervale ( − ∞;
0)
je funkcia rastúca, na intervale ( ; 2)
( ; ∞)
2 je rastúca.
0 je klesajúca a na intervale
Intervaly konvexnosti a konkávnosti. Vypočítame druhú deriváciu:
'
⎛ x ⎛ 1 2 ⎞⎞
x ⎛ 6
y'
' = ⎜e
⎜ − 2 3 ⎟⎟
= e ⎜ 4
⎝ ⎝ x x ⎠⎠
⎝ x
4
− 3
x
1 ⎞
+ = 0 2 ⎟ . Prvý člen nulový nemôže byť, preto sa
x ⎠
2
stačí zaoberať zátvorkou. x − 4x
+ 6 = 0 nemá riešenie v obore reálnych čísel. Funkcia
2
f = x − 4x
+ 6 je kladná pre všetky reálne čísla, preto funkcia je rýdzo konvexná na
intervale ( − ∞;
0)
a na intervale ( ; ∞)
0 .
Lokálne a globálne extrémy. Z vyšetrenia stacionárnych bodov vyplýva, že prvá
derivácia je nulová pre x = 2 . Z vyšetrenia konvexnosti a konkávnosti už máme aj
druhú deriváciu, ktorá je všade kladná, preto v bode x = 2 je ostré lokálne minimum.
Inflexné body. Z vyšetrenia konvexnosti a konkávnosti vyplýva, že druhá
derivácia je všade kladná, preto inflexný bod funkcia nemá.
Asymptoty. Asymptotu bez smernice zistíme pomocou jednostranných limít v
x
x
⎛e⎞ ⎛e⎞ bode nespojitosti: lim+
⎜ =∞ 2 ⎟ a lim−
⎜ 2 ⎟=
∞ . Limity sú nevlastné, preto funkcia má
x→0
⎝ x
x→0
⎠ ⎝ x ⎠
asymptotu bez smernice, ktorej rovnica je x = 0 . Smernicu a kvocient asymptoty so
smernicou (rovnica y = kx + q ) zistíme pomocou limít:
x
f( x) ⎛e ⎞
k1,2
= lim = lim ⎜ 0
x→±∞ x
3 ⎟=
x →±∞
⎝ x ⎠
asymptoty je y = 0.
x ⎛e⎞ = lim ( ) − = lim ⎜ ⎟=
0 . Rovnica tejto
⎝ x ⎠
, q ( f x k x)
1,2 1,2
x→±∞ x→±∞
2
Obor hodnôt. Zistili sme, že funkcia je kladná, asymptoticky sa blíži k nule, ale
ďalšiu asymptotu so smernicou nemá. Preto rastie neobmedzene. Teda
Záver. Na základe predošlých výsledkov je možné načrtnúť graf:
+
H (y)
= ℜ .
113