B - Prírodovedecká fakulta - Univerzita Komenského

Učebné texty z matematiky pre 1. ročník geológie
neplatí. Takúto vetu, prispôsobenú na integrovanie, ešte nikto nevymyslel. Dokonca sa
dokázalo, že taká veta neexistuje. Preto zložené funkcie integrujeme podľa mnohých
pravidiel a mnohých metód a trikov, z ktorých niektoré postupne preberieme. Predošlá
veta slúži na to, aby sme pre začiatok vedeli pomocou tabuľkových elementárnych
integrálov vypočítať aj integrály elementárnych funkcií, ktoré nie sú v základnom tvare,
ale sú posunuté pozdĺž osi x a y. Parameter a (zodpovedný za „roztiahnutie“ alebo
„stiahnutie“ grafu v smere osi y) sa prejaví pred primitívnou funkciou v menovateli.
Parameter b (zodpovedný za posun grafu v smere osi x) ostane v argumente a inde sa už
neprejaví.
1
Príklad. ∫ sin( 2x
+ 3)
dx = − cos( 2x
+ 3)
+ c .
2
118
∫
1 1
dx = ln 5x − 200000 + c .
5x − 200000 5
Poznámka a časté chyby. Takmer všetci na začiatku zabúdajú na integračnú
konštantu. Proste ju nenapíšu, pretože za výsledok považujú samotnú funkciu. Nedá sa
povedať, že by bol výsledok nesprávny. Je len neúplný. Je to podobný problém, ako
keď 4 = 2 . Je to pravda, ale zabudli sme, že aj 4 = −2
je pravda, preto korektný
výpočet je 4 = ± 2 . Význam integračnej konštanty je obrovský, aj keď to tak nevyzerá.
V praxi je to veľmi často tak, že primitívna funkcia charakterizuje priebeh deja
a integračná konštanta charakterizuje počiatočné, prípadne okrajové podmienky deja.
Takže na ňu nezabúdajme a za každú primitívnu funkciu je pekne napíšme.
Neurčitý integrál súčtu (rozdielu). Nech na intervale ( a; b)
sú definované
funkcie f (x)
a g (x)
. Potom ( f ( x) ± g( x) ) dx= f( x) dx± g( x) dx
∫ ∫ ∫ .
Poznámka. Veta je navlas rovnaká, aká je pri deriváciách. Hovorí o tom, že
integrál súčtu (rozdielu) je súčet (rozdiel) integrálov. Nanešťastie taká veta, aká platila
pre deriváciu súčinu a podielu, pre integrály neplatí. Nanajvýš platí
∫ x)
dx a∫
af ( = f ( x)
dx , kde a je konštanta.
Veta.
∫
( )
( )
f′ x
dx = ln f ( x) + c
f x