B - Prírodovedecká fakulta - Univerzita Komenského

Využitie určitého integrálu
Lekcia 11 – Určitý integrál
Úvod. Určitý integrál má pre prax veľký význam. Používa sa na výpočet dĺžky
krivky, obsahu plochy, objemu telesa, ťažiska, momentu hybnosti, momentu
zotrvačnosti a mnoho ďalších. Nasleduje niekoľko najdôležitejších vzorcov.
Obsah plochy (Obr. 60). Nech y = f ( x)
≥ 0 na intervale a; b . Obsah plochy
ohraničenej funkciou f (x)
a priamkami y = 0,
x = a a x = b je S = ∫ f ( x)
dx .
Poznámka. y = f ( x)
≥ 0 , teda funkcia je celá nad osou x, nanajvýš sa jej
dotýka, ale neprechádza cez ňu. Vzorec je rovnako platný, aj ak y = f ( x)
≤ 0 , teda
funkcia je celá pod osou x, nanajvýš sa jej dotýka, ale neprechádza cez ňu. Výsledok aj
tak berieme v absolútnej hodnote.
Poznámka a časté chyby. Niekedy treba vypočítať plochu medzi osou x
a funkciou, ktorá prechádza cez os x. Tiež veľmi často sa stáva, že pri výpočte obsahu
plochy je potrebné počítať integrál nepárnej funkcie na symetrickom intervale.
Samozrejme, vychádza nula. Ale to neznamená, že plocha je nulová. Na 90% je chyba
v tom, že funkcia prechádza nulou a zabudlo sa na to, že vo vzorci je absolútna hodnota.
Bez tejto absolútnej hodnoty sa deje to, že plocha nad osou x vychádza s kladným
znamienkom a pod osou x vychádza so znamienkom záporným, preto sa tieto plochy
odčítajú. Niekedy vyjde plocha menšia ako v skutočnosti, ale niekedy aj nulová (ak sa
veľkosť plochy nad a pod osou x rovnajú). Správny postup je preto tento: Zadanú
funkciu najskôr preskúmam, či neprechádza cez os x. Zistím to tak, že vypočítam
nulové body. Potom už stačí integrovať funkciu po menších intervaloch, ktorých
hranice sú nulové body. Každý s týchto čiastkových integrálov vezmem v absolútnej
hodnote (s kladným znamienkom) a tieto čiastkové plochy sčítam. V asi 90% prípadov,
kedy vychádza nulová plocha, sa stane to, že funkcia je nepárna, ale nie je integrovaná
na symetrickom intervale. Stalo sa asi to, že sa zaviedla taká substitúcia, ktorá zmenila
hranice integrovania tak, že sa teraz integruje nepára funkcia na symetrickom intervale.
Preto treba dať pozor na to, ako sa menia hranice integrovania. Správny postup je preto
tento: Integrujem funkciu na intervale − a;
0 , vezmem v absolútnej hodnote, potom
integrujem na intervale 0 ; a , vezmem znova v absolútnej hodnote a čiastkové plochy
sčítam.
b
a
129