B - Prírodovedecká fakulta - Univerzita Komenského

Veta. ∫ f ( x)
dx = −∫
f ( x)
dx .
a
a
b
Lekcia 11 – Určitý integrál
Poznámka. Veta hovorí, že je jedno, či odčítam hornú hranicu od dolnej alebo
naopak, len zmením znamienko.
a
∫
a
Veta. f ( x)
dx = 0 .
Poznámka. Veta hovorí, že ak integrujem od nejakej hodnoty po tú istú
hodnotu, hodnota je nula.
2
6 6 6
5 ⎡ x ⎤ 2 2
Príklad. ∫ x dx = ⎢ ⎥ = − = 0 .
6 6 6
2 ⎣ ⎦
2
2
c
Veta. Ak a < b < c , tak ∫ f ( x)
dx = ∫ f ( x)
dx + ∫ f ( x)
dx .
a
b
a
Poznámka. Veta hovorí, že integrovanie v nejakých hraniciach sa dá rozdeliť na
niekoľko určitých integrálov. Dôležité je, aby hranice na seba nadväzovali. Veta sa
využíva hlavne vtedy, keď sa počíta viac určitých integrálov a náhodou ak rozdelím
jeden na dva, časť sa mi s nejakým iným členom vyruší.
Príklad.
π/2 π/4 π/2
∫ sin xdx = ∫ sin xdx + ∫ sin xdx = −cos( π / 4) + cos0 −cos( π / 2) + cos( π / 4) = 1.
0 0 π /4
a
∫
−a
Určitý integrál párnej funkcie (Obr. 59). Ak funkcia f (x)
je párna, potom
f ( x)
dx = 2 f ( x)
dx .
a
∫
0
Poznámka. Na funkciu, ktorá je symetrická podľa osi y, ktorú integrujeme na
symetrickom intervale, sa môžeme dívať ako na dvojnásobok tej časti, ktorá je napravo
od nuly.
Určitý integrál nepárnej funkcie (Obr. 59). Ak funkcia f (x)
je nepárna,
a
∫
potom f ( x)
dx = 0 .
−a
c
b
127