B - Prírodovedecká fakulta - Univerzita Komenského

More documents

Recommendations

Info

Učebné texty z matematiky pre 1. ročník geológie a. Ekvivalentné a neekvivalentné úpravy 16 Lekcia 2 – Riešenie rovníc Nové pojmy b. Osamostatňovanie neznámej, diskriminant, koreň rovnice Riešenie rovníc patrí medzi najdôležitejšie časti matematiky. Z pohľadu týchto učebných textov je táto kapitola najdôležitejšia zo všetkých. Hneď na úvod treba povedať, že obrovské množstvo procesov v geológii je riadených procesmi opísanými rovnicami, ktoré riešenie nemajú. Je tu však mnoho dejov alebo aspoň ich priblížení, za ktorými stoja riešiteľné rovnice. Geológ si musí tiež uvedomiť, že niektoré rovnice (deje, procesy) riešenie nemajú, iné majú jedno, dve, tri alebo aj nekonečne veľa. Znamená to, že ak sme našli riešenie pre danú rovnicu, ešte to automaticky neznamená, že je problém vyriešený. Počet riešení závisí od typu rovnice. K týmto riešeniam sa dá dospieť úpravami, ktoré sa delia na ekvivalentné a neekvivalentné. Ekvivalentné úpravy. Sú to také, ktoré neovplyvňujú počet riešení. Patria medzi ne: a. pripočítanie alebo odčítanie rovnakého čísla od oboch strán rovnice b. násobenie alebo delenie oboch strán rovnakým číslom (okrem nuly) Neekvivalentné úpravy. Sú to také, pri ktorých sa riešenia strácajú alebo naopak vznikajú nové. Patria medzi ne: a. umocňovanie a odmocňovanie b. logaritmovanie c. násobenie alebo delenie oboch strán premennou Poznámka. Vždy sa hovorí o úprave oboch strán rovnice. Nie je možné upraviť iba jednu stranu s tým, že druhá zostane nezmenená. Tým by vznikla úplné iná rovnica. Úprava jednej strany rovnice musí mať protiváhu na druhej strane, aby sa rovnica zmenila iba vizuálne, ale jej obsahová stránka musí zostať zachovaná. Poznámka. Násobenie alebo delenie oboch strán premennou je neekvivalentná úprava preto, lebo premenná zastupuje všetky možné čísla, a teda aj nulu. A násobenie rovnice nulou rovnicu zničí a delenie nulou nemá zmysel.
Metódy riešenia rovníc Lekcia 2 – Riešenie rovníc Metód riešenia rovníc je mnoho, pretože typov rovníc je mnoho. Každý typ sa vyznačuje osobitným spôsobom riešenia, prípadne osobitným postupom. Je však možné nájsť aj spoločné kroky pre riešenie viacerých alebo dokonca všetkých typov (napríklad ekvivalentné úpravy). V ďalšom texte sa obmedzíme na riešenie iba najzákladnejších typov rovníc. Poznámka. Niekedy nie je jasné, čo to vlastne ten pojem „vyriešiť rovnicu“ znamená. V skutočnosti to znamená, že premennú treba osamostatniť, teda použiť také ekvivalentné úpravy, aby premenná zostala na jednej strane a všetko ostatné na druhej strane. Inak povedané: Treba nájsť také x, pre ktoré platí f ( x) = 0 . Konštantné rovnice. Sú to rovnice typu f ( x) = c . Keďže funkcia nemá vo svojom predpise premennú, nie je čo riešiť. Lineárne rovnice. Sú to rovnice typu f ( x) = ax + b , a ≠ 0 . Treba teda riešiť rovnicu ax + b = 0 . Rovnicu riešime v dvoch krokoch: 1. Od obidvoch strán odčítame b a dostaneme: ax = −b . 2. Obe strany predelíme a a dostaneme: b x = − . a 2 Kvadratické rovnice. Sú to rovnice typu f ( x) = ax + bx + c , a ≠ 0 . Treba 2 teda riešiť rovnicu ax + bx + c = 0 . Rovnicu riešime najčastejšie pomocou 2 diskriminantu. Diskriminant je pomocná veličina a jej predpis je: D = b − 4ac . Riešenie je potom: 2 − b ± D − b ± b − 4ac x = = . 2a 2a Poznámka. Z predpisu vidno, že riešenia môžu byť dve (keď je diskriminant kladný), môže byť jedno-dvojnásobný koreň (keď je diskriminant nulový), ale riešenie nemusí existovať vôbec (keď je diskriminant záporný). Závisí to od konštánt a, b, c. f ( x) = ax ax n + bx Polynomické rovnice vyššieho rádu. Sú to rovnice typu n n−1 + bx n−1 + ... + x + c , a ≠ 0 . Treba teda riešiť rovnicu + ... + x + c = 0 . Rovnica sa vo všeobecnosti nemusí dať vyriešiť. Postup riešenia je známy iba pre niektoré typy, preto sa ním nebudeme bližšie zaoberať. 17
Page 1: Univerzita Komenského v Bratislave
Page 4 and 5: Učebné texty z matematiky pre 1.
Page 66 and 67:
Učebné texty z matematiky pre 1.
Page 68 and 69:
Page 70 and 71:
Page 72 and 73:
Page 74 and 75:
Page 76 and 77:
Page 78 and 79:
Page 80 and 81:
Page 82 and 83:
Page 84 and 85:
Page 86 and 87:
Page 88 and 89:
Page 90 and 91:
Page 92 and 93:
Page 94 and 95:
Page 96 and 97:
Page 98 and 99:
Page 100 and 101:
Page 102 and 103:
Page 104 and 105:
Page 106 and 107:
Page 108 and 109:
Page 110 and 111:
Page 112 and 113:
Page 114 and 115:
Page 116 and 117:
Page 118 and 119:
Page 120 and 121:
Page 122 and 123:
Page 124 and 125:
Page 126 and 127:
Page 128 and 129:
Page 130 and 131:
Page 132 and 133:
Page 134 and 135:
Page 136:
show all

B - Prírodovedecká fakulta - Univerzita Komenského

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?