B - Prírodovedecká fakulta - Univerzita Komenského

More documents

Recommendations

Info

Učebné texty z matematiky pre 1. ročník geológie 108 Asymptoty. Asymptoty bez smernice nie sú, pretože funkcia je spojitá pre ∀ℜ . Smernicu a kvocient asymptoty so smernicou (rovnica y = kx + q ) zistíme pomocou limít: k 1,2 y ⎛sin x ⎞ = = = x ⎝ x ⎠ 1 lim lim ⎜ ⎟ 0 x→±∞ x→±∞ ( ) ( ) 1,2 1 1,2 x→±∞ x→±∞ , k 3,4 y ⎛cos x ⎞ = = = x ⎝ x ⎠ 2 lim lim ⎜ ⎟ 0 x→±∞ x→±∞ q = lim y − k x = lim sin x , ale táto limita neexistuje a ( ) ( ) q = lim y − k x = lim cos x , a táto limita tiež neexistuje, pretože sú to 3,4 2 3,4 x→±∞ x→±∞ rovnomerne oscilujúce periodické funkcie. Preto funkcie asymptoty nemajú. Záver. Na základe predošlých výsledkov je možné načrtnúť graf: Obr. 55. Grafy funkcií y = sin x a y = cos x . 1 2 Poznámka. Tento príklad považujem za ťažší, pretože zisťovanie rôznych intervalov bolo neprehľadné. 1 Príklad 59. Vyšetri priebeh funkcie y = x + . 2 x Riešenie (Obr. 56). Postupujeme podľa schémy. Definičný obor. Definičný obor je všetko, čo má zmysel dosadiť za x. Teda D(y) = ℜ -{0}. Obor hodnôt. Zistiť obor hodnôt pomocou inverznej funkcie tu nie je ľahké, pretože je potrebné riešiť kubickú rovnicu. Necháme si teda zistenie oboru hodnôt na koniec. B = {0} . N Body nespojitosti. Bod nespojitosti je tam, kde funkcia nie je definovaná. Preto .
Lekcia 9 – Priebeh funkcií Nulové body. Nájdeme ich tak, že funkciu položíme rovnú nule. Teda 1 0 2 = + x . Z toho vyplýva, že x = −1. x Stacionárne body. Nájdeme ich tak, že prvú deriváciu položíme rovnú nule: ' ⎛ 1 ⎞ 2 3 Teda y '= ⎜ x + = 1 − = 0 2 ⎟ . Z toho vyplýva, že x = 2 . 3 ⎝ x ⎠ x Intervaly monotónnosti. Stacionárny bod a bod nespojitosti rozdelili záujmovú oblasť na tri intervaly: ( ∞; 0) 3 − , ( ; 2 0 a ( 2; ∞) 3 . Intervaly rastu a klesania zistíme tak, že dosadíme akékoľvek číslo z jednotlivých intervalov a zistíme, či je v nich prvá derivácia kladná alebo záporná. Zvolíme, napríklad, hodnoty { 1; 1; 2} − . Dosadíme a máme y ' ( −1) = 3 > 0 , y ' ( 1) = −1 < 0 , y ' ( 2) = 0, 75 > 0 . Preto na intervale ( − ∞; 0) je 3 funkcia rastúca, na intervale ( 0 ; 2) klesajúca a na intervale ( 2; ∞) 3 rastúca. Intervaly konvexnosti a konkávnosti. Vypočítame druhú deriváciu: '' ' ⎛ 1 ⎞ ⎛ 2 ⎞ 6 y '' = ⎜ x + 1 = 2 ⎟ = ⎜ − 3 ⎟ 4 ⎝ x ⎠ ⎝ x ⎠ x . Druhá derivácia je kladná na celom definičnom ∞; 0 0 ; ∞ . obore, preto je funkcia rýdzo konvexná na intervale ( − ) a na intervale ( ) Poznámka. Funkcia nie je rýdzo konvexná na definičnom obore, pretože je tu bod nespojitosti druhého druhu v bode x = 0 . Lokálne a globálne extrémy. Z vyšetrenia stacionárnych bodov vyplýva, že prvá derivácia je nulová pre hodnotu 3 x = 2 . Z vyšetrenia konvexnosti a konkávnosti už máme aj druhú deriváciu. Druhá derivácia v stacionárnom bode je '' 3 6 −1 / 3 ( 2) = = 3. 2 > 0 3 y , preto v bode = 2 3 16 x je ostré lokálne minimum. Inflexné body. Z vyšetrenia konvexnosti a konkávnosti vyplýva, že druhá 6 y '' = nie je nulová nikde, preto funkcia inflexný bod nemá. x derivácia 4 Asymptoty. Asymptotu bez smernice zistíme pomocou jednosmerných limít v bode nespojitosti: 3 2 ⎛ 1 ⎞ ⎛ x + 1⎞ ⎛3x ⎞ x + ⎜ 2 ⎟ + ⎜ 2 ⎟ + ⎜ ⎟ x→0 x→0 x→0 lim + = lim = lim =∞ ⎝ x ⎠ ⎝ x ⎠ ⎝ 2x ⎠ ⎛ 1 ⎞ ⎜ + ⎟=∞. ⎝ x ⎠ a lim x − 2 x→0 Limity sú nevlastné, preto funkcia má asymptotu bez smernice, ktorej rovnica je x = 0 . 109
Page 1:
Univerzita Komenského v Bratislave
Page 4 and 5:
Učebné texty z matematiky pre 1.
Page 6 and 7:
Page 8 and 9:
Page 10 and 11:
Page 12 and 13:
Page 14 and 15:
Page 16 and 17:
Page 18 and 19:
Page 20 and 21:
Page 22 and 23:
Page 24 and 25:
Page 26 and 27:
Page 28 and 29:
Page 30 and 31:
Page 32 and 33:
Page 34 and 35:
Page 36 and 37:
Page 38 and 39:
Page 40 and 41:
Page 42 and 43:
Page 44 and 45:
Page 46 and 47:
Page 48 and 49:
Page 50 and 51:
Page 52 and 53:
Page 54 and 55:
Page 56 and 57:
Page 58 and 59: Učebné texty z matematiky pre 1.
Page 136: Učebné texty z matematiky pre 1.
show all

B - Prírodovedecká fakulta - Univerzita Komenského

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?