B - Prírodovedecká fakulta - Univerzita Komenského

ln( ) 0
2 =
Lekcia 9 – Priebeh funkcií
Nulové body. Nájdeme ich tak, že funkciu položíme rovnú nule. Teda
2 0
x , teda x = e = 1,
preto nulové body sú x = ± 1.
Stacionárne body. Prvú deriváciu položíme rovnú nule:
2 ' 1 2 2
( ln(
x ) = ( x ) ' = = 0
y ' =
2
x x
. Táto funkcia nie je rovná nule nikde, preto stacionárne
body funkcia nemá (jediný podozrivý bod je x = 0 , ale o tom už vieme, že je to bod
nespojitosti).
Intervaly monotónnosti. Bod nespojitosti rozdelil záujmovú oblasť na dva
intervaly: ( − ∞;
0)
a ( ; ∞)
0 . Intervaly rastu a klesania zistíme tak, že dosadíme
akékoľvek číslo z jednotlivých intervalov a zistíme, či je v nich prvá derivácia kladná
alebo záporná. Zvolíme, napríklad, hodnoty { 1;
1}
a y ' ( 1)
= 2 > 0 . Preto na intervale ( ∞;
0)
rastúca.
− . Dosadíme a máme y ' ( −1)
= −2
< 0
− je funkcia klesajúca a na intervale ( ; ∞)
0 je
Intervaly konvexnosti a konkávnosti. Vypočítame druhú deriváciu:
2 '' '
⎛2⎞ 2
y'' = ( ln ( x ) ) = ⎜ ⎟ =− . Keďže je v menovateli druhá mocnina, ktorá je vždy
2
⎝ x ⎠ x
nezáporná, celá funkcia je vždy záporná. Druhá derivácia ale nie je definovaná pre bod
x = 0 , preto je funkcia rýdzo konkávna na intervale ( − ∞;
0)
aj na intervale ( 0 ; ∞)
.
Lokálne a globálne extrémy. Z vyšetrenia stacionárnych bodov vyplýva, že prvá
derivácia nie je nulová nikde. Preto funkcia nemá extrémy (jediný podozrivý bod je
x = 0 , ale o tom už vieme, že je to bod nespojitosti).
Inflexné body. Z vyšetrenia konvexnosti a konkávnosti vyplýva, že funkcia sa
nikde nemení z konvexnej na konkávnu alebo naopak, preto funkcia nemá inflexný bod.
Asymptoty. Asymptotu bez smernice zistíme pomocou jednostranných limít v
( )
2
bode nespojitosti: lim ln ( x )
+
x→0
( )
2
= −∞ a lim ln ( x )
−
x→0
= −∞ . Limity sú nevlastné, preto
funkcia má asymptotu bez smernice, ktorej rovnica je x = 0 . Smernicu a kvocient
asymptoty so smernicou (rovnica y = kx + q ) zistíme pomocou limít:
k
2 ( x )
f( x)
⎛ln ⎞
⎛ 2 ⎞
= lim = lim ⎜ ⎟=
lim ⎜ ⎟=
0 ,
x ⎜ x ⎟ ⎝ x
⎝ ⎠
⎠
1,2
x→±∞ x→±∞ x→±∞
2
111